Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = x^2 + 2x — 8 \) на промежутке:
1) \( [-5;-2] \);
2) \( [-5;\ 1] \);
3) \( [0;\ 3] \).
1) Найдите max и min функции \( f(x) = x^2 + 2x — 8 \) на интервале \( [-5; -2] \).
Абсцисса вершины параболы:
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \)
Значения функции:
\( f(-5) = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) — 8 = 25 — 10 — 8 = 7 \);
\( f(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) — 8 = 4 — 4 — 8 = -8 \);
Ответ:
\(\max f(x) = f(-5) = 7;\)
\(\min f(x) = f(-2) = -8;\)
2) Найдите max и min функции \( f(x) = x^2 + 2x — 8 \) на интервале \( [-5; 1] \).
Абсцисса вершины параболы:
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \)
Значения функции:
\( f(-5) = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) — 8 = 25 — 10 — 8 = 7 \);
\( f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 8 = 1 — 2 — 8 = -9 \);
\( f(1) = (1)^2 + 2 \cdot (1) — 8 = 1 + 2 — 8 = -5 \);
Ответ:
\(\max f(x) = f(-5) = 7;\)
\(\min f(x) = f(-1) = -9;\)
3) Найдите max и min функции \( f(x) = x^2 + 2x — 8 \) на интервале \( [0; 3] \).
Абсцисса вершины параболы:
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \)
Значения функции:
\( f(0) = (0)^2 + 2 \cdot (0) — 8 = 0 — 8 = -8 \);
\( f(3) = (3)^2 + 2 \cdot (3) — 8 = 9 + 6 — 8 = 7 \);
Ответ:
\(\max f(x) = f(3) = 7;\)
\(\min f(x) = f(0) = -8;\)
1) Найдите max и min функции \( f(x) = x^2 + 2x — 8 \) на интервале \( [-5; -2] \).
Для нахождения максимума и минимума функции на данном интервале, мы сначала находим вершину параболы, так как функция имеет вид квадратичной функции, и её график представляет собой параболу. Вершина параболы находится по формуле:
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \), что лежит внутри интервала \( [-5; -2] \).
Теперь, подставим значения \( x = -5 \) и \( x = -2 \) в формулу функции, чтобы вычислить её значения в этих точках:
\( f(-5) = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) — 8 = 25 — 10 — 8 = 7; \) Это значение функции при \( x = -5 \), которая является левой границей интервала.
\( f(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) — 8 = 4 — 4 — 8 = -8; \) Это значение функции при \( x = -2 \), которая является правой границей интервала.
Таким образом, на интервале \( [-5; -2] \), максимальное значение функции равно 7 и оно достигается при \( x = -5 \), а минимальное значение равно -8 и оно достигается при \( x = -2 \).
Ответ:
\(\max f(x) = f(-5) = 7;\)
\(\min f(x) = f(-2) = -8;\)
2) Найдите max и min функции \( f(x) = x^2 + 2x — 8 \) на интервале \( [-5; 1] \).
Здесь вершина параболы по-прежнему лежит в точке \( x_0 = -1 \), которая находится внутри интервала \( [-5; 1] \), поэтому для нахождения максимума и минимума нужно проверить значения функции в вершине, а также в граничных точках интервала.
Подставим \( x = -5 \), \( x = -1 \) и \( x = 1 \) в формулу функции:
\( f(-5) = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) — 8 = 25 — 10 — 8 = 7; \) Это значение функции при \( x = -5 \), которая является левой границей интервала.
\( f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 8 = 1 — 2 — 8 = -9; \) Это значение функции в вершине параболы при \( x = -1 \), которое является минимальным на данном интервале.
\( f(1) = (1)^2 + 2 \cdot (1) — 8 = 1 + 2 — 8 = -5; \) Это значение функции при \( x = 1 \), которая является правой границей интервала.
Таким образом, на интервале \( [-5; 1] \), максимальное значение функции равно 7, которое достигается при \( x = -5 \), а минимальное значение равно -9, которое достигается при \( x = -1 \).
Ответ:
\(\max f(x) = f(-5) = 7;\)
\(\min f(x) = f(-1) = -9;\)
3) Найдите max и min функции \( f(x) = x^2 + 2x — 8 \) на интервале \( [0; 3] \).
Вершина параболы \( x_0 = -1 \) находится за пределами интервала \( [0; 3] \), что означает, что максимумы и минимумы функции на данном интервале будут определяться только в граничных точках интервала. Подставим \( x = 0 \) и \( x = 3 \) в формулу функции:
\( f(0) = (0)^2 + 2 \cdot (0) — 8 = 0 — 8 = -8; \) Это значение функции при \( x = 0 \), которая является левой границей интервала.
\( f(3) = (3)^2 + 2 \cdot (3) — 8 = 9 + 6 — 8 = 7; \) Это значение функции при \( x = 3 \), которая является правой границей интервала.
Таким образом, на интервале \( [0; 3] \), максимальное значение функции равно 7, которое достигается при \( x = 3 \), а минимальное значение равно -8, которое достигается при \( x = 0 \).
Ответ:
\(\max f(x) = f(3) = 7;\)
\(\min f(x) = f(0) = -8;\)
