ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \( c \) наименьшее значение функции \( y = 2x^2 — 12x + c \) равно \(-3\)?

Решение:

Дана функция: \( y = 2x^2 — 12x + c \), где \( c \) — это константа. Необходимо найти такое значение \( c \), при котором наименьшее значение функции равно \( -3 \).

1. Заметим, что функция квадратичная, так как содержит член \( x^2 \). Коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 2 \)), следовательно, график функции является параболой, ветви которой направлены вверх. Это означает, что парабола имеет точку минимума, и эта точка совпадает с её вершиной.

2. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:
\( x = -\frac{b}{2a} \),
где \( a = 2 \), \( b = -12 \).

Подставляем значения:
\( x = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \).

Таким образом, наименьшее значение функции достигается при \( x = 3 \).

3. Найдём значение функции в вершине, подставив \( x = 3 \) в исходное уравнение:
\( y = 2 \cdot (3)^2 — 12 \cdot 3 + c \)
\( y = 2 \cdot 9 — 36 + c \)
\( y = 18 — 36 + c \)
\( y = -18 + c \).

4. По условию задачи, наименьшее значение функции равно \( -3 \). Запишем уравнение:
\( -18 + c = -3 \).

5. Решаем уравнение:
\( c = -3 + 18 \)
\( c = 15 \).

6. Следовательно, если \( c = 15 \), график функции \( y = 2x^2 — 12x + c \) будет иметь вершину в точке \( (3; -3) \), и значение \( -3 \) будет минимальным значением функции.

Ответ: наименьшее значение функции равно \( -3 \) при \( c = 15 \).

Решение:

Нам дана функция: \( y = 2x^2 — 12x + c \), где \( c \) — это константа. Требуется найти значение \( c \), при котором наименьшее значение функции будет равно \(-3\).

1. Анализ функции:
Так как функция является квадратичной, мы знаем, что её график — это парабола. Коэффициент перед \( x^2 \) в функции положительный (\( 2 \)), следовательно, график параболы открывается вверх, а её вершина будет точкой, в которой функция принимает наименьшее значение. Для нас важно найти эту вершину, так как она будет определять наименьшее значение функции.

2. Нахождение абсциссы вершины:
Для нахождения абсциссы вершины параболы используется формула: \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) и \( b \) — это коэффициенты функции в общем виде \( y = ax^2 + bx + c \).

В нашем случае \( a = 2 \), \( b = -12 \). Подставляем эти значения в формулу:
\( x = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \).

Таким образом, абсцисса вершины параболы, то есть значение \( x \), при котором функция достигает наименьшего значения, равно \( x = 3 \).

3. Нахождение наименьшего значения функции:
Теперь, чтобы найти наименьшее значение функции, подставим найденное значение \( x = 3 \) в исходную функцию \( y = 2x^2 — 12x + c \):
\( y = 2 \cdot (3)^2 — 12 \cdot 3 + c = 2 \cdot 9 — 36 + c = 18 — 36 + c = -18 + c \).

Таким образом, наименьшее значение функции равно \( -18 + c \).

4. Условие задачи:
По условию задачи, наименьшее значение функции должно быть равно \( -3 \). Мы подставим это значение в уравнение:
\( -18 + c = -3 \).

5. Решение уравнения:
Теперь решим уравнение для \( c \):
\( c = -3 + 18 = 15 \).

Ответ: Наименьшее значение функции равно \( -3 \) при \( c = 15 \).

Пояснение: Мы рассмотрели квадратичную функцию, которая представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Найдя абсциссу вершины параболы, мы вычислили наименьшее значение функции, которое достигается в этой вершине, и с учётом условий задачи вычислили значение параметра \( c \), при котором это наименьшее значение равно \(-3\).