ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.42 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \( f(x) = \sqrt{x+2} \)

2) \( f(x) = 7 — x^2 \)

3) \( f(x) = -6 \)

4) \( f(x) = |x| — 3 \)

5) \( f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{1-x} \)

6) \( f(x) = x^2 + 4x + 8 \)

1) \( f(x) = \sqrt{x} + 2 \);

Значения функции:

\( \sqrt{x} \ge 0 \);

\( \sqrt{x} + 2 \ge 2 \);

Ответ: \( E(f) = [2;\; +\infty) \).

2) \( f(x) = 7 — x^2 \);

Значения функции:

\( x^2 \ge 0 \);

\( -x^2 \le 0 \);

\( 7 — x^2 \le 7 \);

Ответ: \( E(f) = (-\infty;\; 7] \).

3) \( f(x) = -6 \);

Значения функции:

Ответ: \( E(f) = \{-6\} \).

4) \( f(x) = |x| — 3 \);

Значения функции:

\( |x| \ge 0 \);

Ответ: \( E(f) = [-3;\; +\infty) \).

5) \( f(x) = \sqrt{x — 1} + \sqrt{1 — x} \);

Выражение имеет смысл при:

\( x — 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \);

\( 1 — x \ge 0 \Rightarrow x \le 1 \);

\( x = 1 \);

Значения функции:

\( f(1) = \sqrt{1 — 1} + \sqrt{1 — 1} = 0 \);

Ответ: \( E(f) = \{0\} \).

6) \( f(x) = x^2 + 4x + 8 \);

Координаты вершины параболы:

\( x_0 = \frac{-4}{2} = -2 \);

\( y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 8 = 4 — 8 + 8 = 4 \);

\( a > 0 \) — ветви направлены вверх;

Ответ: \( E(f) = [4;\; +\infty) \).

1) \( f(x) = \sqrt{x} + 2 \);

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\( x \ge 0 \).

Минимальное значение функции: при \( x = 0 \) имеем \( f(0) = 2 \). При возрастании \( x \) функция неограниченно возрастает.

Ответ: \( E(f) = [2;\; +\infty) \).

2) \( f(x) = 7 — x^2 \);

Для всех \( x \) функция определена. Максимум достигается при \( x = 0 \): \( f(0) = 7 \). Так как ветви параболы направлены вниз, значения уменьшаются до \(-\infty\).

Ответ: \( E(f) = (-\infty;\; 7] \).

3) \( f(x) = -6 \);

Функция принимает одно и то же значение при любых \( x \).

Ответ: \( E(f) = \{-6\} \).

4) \( f(x) = |x| — 3 \);

Так как \( |x| \ge 0 \), минимальное значение функции \( -3 \) (при \( x = 0 \)), далее функция неограниченно возрастает.

Ответ: \( E(f) = [-3;\; +\infty) \).

5) \( f(x) = \sqrt{x — 1} + \sqrt{1 — x} \);

Из условий \( x — 1 \ge 0 \) и \( 1 — x \ge 0 \) следует \( x = 1 \). Тогда \( f(1) = 0 \).

Ответ: \( E(f) = \{0\} \).

6) \( f(x) = x^2 + 4x + 8 \);

Вершина параболы: \( x_0 = \frac{-4}{2} = -2 \), \( y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 8 = 4 — 8 + 8 = 4 \). Ветви направлены вверх, минимум равен 4.

Ответ: \( E(f) = [4;\; +\infty) \).