Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.42 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите область значений функции:
1) f(x)=корень из x+2; 4) f(x)=|x|-3;
2) f(x)=7-x^2; 5) f(x)=корень из (x-1)+корень из (1-x);
3) f(x)=-6; 6) f(x)=x^2+4x+8.
1) f(x) = √x + 2;
Значения функции:
√x ≥ 0;
√x + 2 ≥ 2;
Ответ: E(f) = [2; +∞).
2) f(x) = 7 — x²;
Значения функции:
x² ≥ 0;
-x² ≤ 0;
7 — x² ≤ 7;
Ответ: E(f) = (-∞; 7].
3) f(x) = |x| — 6;
Значения функции:
Ответ: E(f) ={-6}.
4) f(x) = |x| — 3;
Значения функции:
|x| ≥ 0;
Ответ: E(f) = [-3; +∞).
5) f(x) = √(x — 1) + √(1 — x);
Выражение имеет смысл при:
x — 1 ≥ 0 => x ≥ 1;
1 — x ≥ 0 => x ≤ 1;
x = 1;
Значения функции:
f(1) = √1 — 1 + √1 — 1 = 0;
Ответ: E(f) = {0}.
6) f(x) = x² + 4x + 8;
Координаты вершины параболы:
x₀ = -4 / 2 = -2;
y₀ = (–2)² + 4 · (-2) + 8 = 4 — 8 + 8 = 4;
α > 0, значит ветви направлены вверх;
Ответ: E(f) = [4; +∞).
1) f(x) = √x + 2;
Для того чтобы выражение √x + 2 имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это условие для функции √x:
√x ≥ 0;
Кроме того, так как в выражении присутствует 2, то добавление этого числа не меняет ограничения на x. Таким образом, единственным ограничением будет условие:
x ≥ 0;
Следовательно, область определения функции будет:
Ответ: E(f) = [2; +∞).
2) f(x) = 7 — x²;
Это выражение является полиномиальным, и оно всегда определено для всех значений x, так как нет ограничений, таких как извлечение корня или деление на ноль. Однако для нахождения значений функции нам нужно исследовать ее знаки. Для этого решим неравенство:
x² ≥ 0;
Это условие всегда выполняется для любых значений x, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, функция определена для всех значений x, и для ее значений:
Ответ: E(f) = (-∞; +7).
3) f(x) = |x| — 6;
Для нахождения области определения этой функции обратим внимание на модуль. Модуль числа всегда определен для любых значений x, так как модуль просто берет абсолютное значение числа. В данном случае, f(x) будет определен для всех значений x, поскольку нет ограничений на x:
Ответ: E(f) = {-6}.
4) f(x) = |x| — 3;
Аналогично предыдущему примеру, выражение |x| — 3 также всегда определено для всех значений x, так как модуль не имеет ограничений. Для поиска значений функции нам достаточно помнить, что выражение всегда существует для всех x:
Ответ: E(f) = (-3; +∞).
5) f(x) = √(x — 1) + √(1 — x);
Для нахождения области определения функции, содержащей корни, нужно, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Рассмотрим оба выражения под корнями:
x — 1 ≥ 0 => x ≥ 1;
1 — x ≥ 0 => x ≤ 1;
Таким образом, из этих двух условий следует, что единственное возможное значение для x — это x = 1. Проверим, что это значение удовлетворяет обоим условиям. Подставляем в функцию:
f(1) = √(1 — 1) + √(1 — 1) = 0 + 0 = 0;
Таким образом, область определения функции — это точка x = 1:
Ответ: E(f) = {0}.
6) f(x) = x² + 4x + 8;
Для этой функции важно найти координаты вершины параболы, так как это поможет нам понять, как ведет себя функция. Для этого воспользуемся формулой для координаты вершины параболы. Вершина параболы для функции ax² + bx + c находится по формулам:
x₀ = -b / (2a), y₀ = f(x₀);
Подставляем коэффициенты для функции x² + 4x + 8:
a = 1, b = 4, c = 8;
x₀ = -4 / (2 · 1) = -2;
Теперь находим значение функции в точке вершины:
y₀ = (-2)² + 4 · (-2) + 8 = 4 — 8 + 8 = 4;
Так как коэффициент перед x² положительный, то ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция принимает значения от 4 и стремится к +∞ по мере увеличения x. Область определения функции будет всей прямой:
Ответ: E(f) = (4; +∞).
Алгебра
