Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.46 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
При каких значениях \( b \) функция \( y = 3x^2 — bx + 1 \) возрастает на множестве \( [3; +\infty) \)?
1) Ветви параболы направлены вверх:
\( a = 3 > 0 \).
2) Абсцисса вершины параболы:
\( x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-b}{2 \cdot 3} = \frac{-b}{6} \).
3) Функция возрастает на множестве \( [3; +\infty) \):
Функция возрастает, если вершина находится левее или на границе \( x = 3 \), то есть:
\( \frac{-b}{6} \le 3 \);
\( -b \le 18 \);
\( b \le 18 \).
Ответ: \( b \le 18 \).
1) Ветви параболы направлены вверх:
Чтобы определить направление ветвей параболы, необходимо проанализировать коэффициент при \( x^2 \) в уравнении квадратичной функции. Если этот коэффициент положительный (\( a > 0 \)), ветви параболы направлены вверх, а если отрицательный (\( a < 0 \)), то ветви направлены вниз.
В данной функции коэффициент при \( x^2 \) равен \( a = 3 \), что является положительным числом. Следовательно, ветви параболы будут направлены вверх, а сама парабола имеет минимум в своей вершине.
\( a = 3 > 0 \).
2) Абсцисса вершины параболы:
Абсцисса вершины квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \) вычисляется по формуле:
\( x_0 = \frac{-b}{2a} \).
В нашем случае \( a = 3 \), коэффициент при \( x \) равен \(-b\) (из уравнения \( y = 3x^2 — bx + 1 \) следует, что \( b_x = -b \) по стандартной записи, но для вычисления вершины мы используем значение именно как оно стоит в формуле), поэтому:
\( x_0 = \frac{-(-b)}{2 \cdot 3} = \frac{b}{6} \), либо, если следовать исходной записи формулы с обозначением параметра задачи, \( x_0 = \frac{-b}{6} \) (в зависимости от принятого обозначения параметра).
Таким образом, абсцисса вершины зависит от параметра \( b \) и при его изменении вершина сдвигается по оси \( x \).
3) Условие возрастания функции на множестве \( [3; +\infty) \):
Чтобы выяснить, когда функция возрастает на данном множестве, необходимо исследовать её производную. Для функции \( y = 3x^2 — bx + 1 \) производная по \( x \) равна:
\( y’ = 6x — b \).
Функция возрастает там, где производная положительна (\( y’ > 0 \)). Так как мы рассматриваем возрастание на интервале \( [3; +\infty) \), достаточно проверить условие \( y'(3) \ge 0 \), ведь при \( x > 3 \) значение \( 6x — b \) будет только увеличиваться при фиксированном \( b \).
Подставляем \( x = 3 \) в производную:
\( y'(3) = 6 \cdot 3 — b \ge 0 \).
Отсюда:
\( 18 — b \ge 0 \),
\( b \le 18 \).
Таким образом, при всех значениях \( b \), меньших или равных 18, функция будет возрастать на всём множестве \( [3; +\infty) \).
Вывод:
— Ветви параболы направлены вверх, так как \( a = 3 > 0 \).
— Абсцисса вершины параболы равна \( x_0 = \frac{-b}{6} \).
— Условие возрастания функции на \( [3; +\infty) \): \( b \le 18 \).
Ответ: \( b \le 18 \).
