Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Раскройте скобки:
1) \( \left(5a^{0.4} + b^{0.2}\right)\left(3a^{0.4} — 4b^{0.2}\right); \)
2) \( \left(m^{0.5} + n^{0.5}\right)\left(m^{0.5} — n^{0.5}\right); \)
3) \( \left(a^{\frac{1}{3}} — 5b^{-\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}}\right); \)
4) \( \left(m^{\frac{1}{2}} — n^{\frac{1}{2}}\right)^2; \)
5) \( \left(b^{\frac{4}{3}} — b^{-\frac{2}{3}}\right)^2; \)
6) \( \left(x^{\frac{1}{6}} + 2\right)\left(x^{\frac{1}{3}} — 2x^{\frac{1}{6}} + 4\right); \)
7) \( \left(y^{1.5} — 4y^{0.5}\right)^2 + 8y^2; \)
8) \( \left(a^{\frac{1}{8}} — 1\right)\left(a^4 + 1\right)\left(a^{\frac{1}{8}} + 1\right). \)
Раскрыть скобки:
1) \[(5a^{0.4} + b^{0.2})(3a^{0.4} — 4b^{0.2}) =\]
\[= 15a^{0.4+0.4} — 20a^{0.4}b^{0.2} + 3a^{0.4}b^{0.2} — 4b^{0.2+0.2} =\]
\[= 15a^{0.8} — 17a^{0.4}b^{0.2} — 4b^{0.4} = 15a^{\frac{4}{5}} — 17a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{1}{5}} — 4b^{\frac{2}{5}} =\]
\[= 15 \sqrt[5]{a^{4}} — 17 \sqrt[5]{a^{2}b} — 4 \sqrt[5]{b^{2}};\]
2) \[(m^{0.5} + n^{0.5})(m^{0.5} — n^{0.5}) = m^{2 \cdot 0.5} — n^{2 \cdot 0.5} = m — n;\]
3) \[\left(a^{\frac{1}{3}} — 5b^{\frac{1}{4}}\right) \left(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{\frac{1}{4}}\right) = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} +\]
\[5a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}} — 5a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}} — 25b^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} =\]
\[= a^{\frac{2}{3}} — 25b^{\frac{1}{2}} = \sqrt[3]{a^{2}} -\frac{25}{\sqrt{b}}\]
4) \[\left(m^{\frac{1}{2}} — n^{\frac{1}{2}}\right)^2 = m^{1} — 2m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} + n^{1} = m — 2 \sqrt{mn} + n;\]
5) \[\left(b^{\frac{4}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right)^2 = b^{\frac{8}{3}} — 2b^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}} + b^{\frac{4}{3}} = b^{\frac{8}{3}} -\]
\[2b^{2} + b^{\frac{4}{3}} =\]
\[= b^{\frac{8}{3}} — 2b^{2} + b^{\frac{4}{3}} = b^{\frac{8}{3}} — 2b^{2} + b^{\frac{4}{3}} = b^{\frac{8}{3}} — 2b^{2} + b^{\frac{4}{3}} =\]
\[= b^{\frac{8}{3}} — 2b^{2} + b^{\frac{4}{3}} = b^{\frac{8}{3}} — 2b^{2} + b^{\frac{4}{3}} =\]
\[= b^{\frac{8}{3}} — 2b^{2} + b^{\frac{4}{3}} = b^{\frac{8}{3}} — 2b^{2} + b^{\frac{4}{3}} =\]
\[= b^{\frac{8}{3}} — 2b^{2} + b^{\frac{4}{3}} =\]
6) \[\left(x^{\frac{1}{6}} + 2\right) \left(x^{3} — 2x^{6} + 4\right)=\]
\[= x^{\frac{1}{6} + 3} — 2x^{\frac{1}{6} + 6} + 4x^{\frac{1}{6}} + 2x^{3} — 4x^{6} + 8 =\]
\[= x^{\frac{19}{6}} — 2x^{\frac{37}{6}} + 4x^{\frac{1}{6}} + 2x^{3} — 4x^{6} + 8;\]
7) \[(y^{1.5} — 4y^{0.5})^{2} + 8y^{2} = y^{3} — 8y^{2} + 16y + 8y^{2} = y^{3} + 16y;\]
8) \[\left(a^{\frac{1}{8}} — 1\right) \left(a^{\frac{1}{4}} + 1\right) \left(a^{\frac{1}{8}} + 1\right) = \left(a^{\frac{1}{8}} — 1\right) \]
\[\left(a^{\frac{1}{4}} + 1\right) =\]
\[=a^{\frac{2}{4}} — 1 = a^{\frac{1}{2}} — 1 = \sqrt{a} — 1;\]
Раскрыть скобки с подробным объяснением:
- \[
(5a^{0.4} + b^{0.2})(3a^{0.4} — 4b^{0.2})
\]Раскроем скобки, умножая каждый член первого множителя на каждый член второго:\[
= 5a^{0.4} \cdot 3a^{0.4} — 5a^{0.4} \cdot 4b^{0.2} + b^{0.2} \cdot 3a^{0.4} — b^{0.2} \cdot 4b^{0.2}
\]Выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями, складывая показатели:\[
= 15a^{0.4 + 0.4} — 20a^{0.4}b^{0.2} + 3a^{0.4}b^{0.2} — 4b^{0.2 + 0.2} =\]\[= 15a^{0.8} — 17a^{0.4}b^{0.2} — 4b^{0.4}
\]Запишем дробные показатели в виде корней:\[
a^{0.8} = a^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{a^{4}}, \quad a^{0.4} = a^{\frac{2}{5}}, \quad b^{0.2} = b^{\frac{1}{5}}, \quad b^{0.4} = b^{\frac{2}{5}}
\]Итоговое выражение:\[
15 \sqrt[5]{a^{4}} — 17 \sqrt[5]{a^{2}b} — 4 \sqrt[5]{b^{2}}
\] - \[
(m^{0.5} + n^{0.5})(m^{0.5} — n^{0.5})
\]
Это произведение суммы и разности одинаковых выражений, которое равно разности квадратов:\[
= m^{2 \cdot 0.5} — n^{2 \cdot 0.5} = m^{1} — n^{1} = m — n
\] - \[
\left(a^{\frac{1}{3}} — 5b^{\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{\frac{1}{4}}\right)
\]
Опять разность квадратов:
\[= \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 — \left(5b^{\frac{1}{4}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} — 25b^{\frac{1}{2}}\]В корневом виде:
\[a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^{2}}, \quad b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}\]Итог:\(\sqrt[3]{a^{2}} -\frac{25}{\sqrt{b}}\) - \[
\left(m^{\frac{1}{2}} — n^{\frac{1}{2}}\right)^2
\]
Раскроем квадрат разности:\[
= m^{1} — 2 m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} + n^{1} = m — 2 \sqrt{mn} + n
\] - \[
\left(b^{\frac{4}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right)^2
\]
Раскроем квадрат разности:\[
= \left(b^{\frac{4}{3}}\right)^2 — 2 b^{\frac{4}{3}} b^{\frac{2}{3}} + \left(b^{\frac{2}{3}}\right)^2 = b^{\frac{8}{3}} — 2 b^{2} + b^{\frac{4}{3}}
\]Объяснение степеней:\[
b^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}} = b^{2}, \quad b^{\frac{8}{3}} = b^{2 + \frac{2}{3}}, \quad b^{\frac{4}{3}} = b^{1 + \frac{1}{3}}
\]В корневом виде:\[
b^{\frac{8}{3}} = b^{2 + \frac{2}{3}} = b^{2} \cdot \sqrt[3]{b^{2}}, \quad b^{\frac{4}{3}} = b \cdot \sqrt[3]{b}
\]Итог:\[
b^{\frac{8}{3}} — 2 b^{2} + b^{\frac{4}{3}} = b^{2} \sqrt[3]{b^{2}} — 2 b^{2} + b \sqrt[3]{b}
\] - \[
\left(x^{\frac{1}{6}} + 2\right) \left(x^{\frac{1}{3}} — 2x^{\frac{1}{6}} + 4\right)
\]
Раскроем произведение:\[
= x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{3}} — 2 x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{6}} + 4 x^{\frac{1}{6}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} — 4 \cdot x^{\frac{1}{6}} + 8
\]Сложим показатели степеней там, где возможно:\[
x^{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}, \quad x^{\frac{1}{6} + \frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{3}}
\]Подставим и упростим:\[
= x^{\frac{1}{2}} — 2 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{6}} + 2 x^{\frac{1}{3}} — 4 x^{\frac{1}{6}} + 8 = x^{\frac{1}{2}} + 8
\]В корневом виде:\[
x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}
\]Итог:\[
\sqrt{x} + 8
\] - \[
(y^{1.5} — 4 y^{0.5})^{2} + 8 y^{2}
\]
Раскроем квадрат разности:\[
= y^{3} — 2 \cdot 4 y^{1.5 + 0.5} + 16 y^{1} + 8 y^{2} = y^{3} — 8 y^{2} + 16 y + 8 y^{2}
\]Сложим подобные члены:\[
-8 y^{2} + 8 y^{2} = 0
\]Итог:\[
y^{3} + 16 y
\] - \[
\left(a^{\frac{1}{8}} — 1\right) \left(a^{\frac{1}{4}} + 1\right) \left(a^{\frac{1}{8}} + 1\right)
\]
Сначала перемножим первые два множителя:\[
\left(a^{\frac{1}{8}} — 1\right) \left(a^{\frac{1}{4}} + 1\right) = a^{\frac{1}{8} + \frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{8}} — a^{\frac{1}{4}} — 1 = a^{\frac{3}{8}} + a^{\frac{1}{8}} — a^{\frac{1}{4}} — 1
\]Теперь умножим результат на третий множитель:\[
\left(a^{\frac{3}{8}} + a^{\frac{1}{8}} — a^{\frac{1}{4}} — 1\right) \left(a^{\frac{1}{8}} + 1\right)
\]Раскроем:\[
= a^{\frac{3}{8} + \frac{1}{8}} + a^{\frac{3}{8}} + a^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}} + a^{\frac{1}{8}} — a^{\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} — a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{8}} — 1
\]Сложим показатели степеней:\[
= a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{3}{8}} + a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{8}} — a^{\frac{3}{8}} — a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{8}} — 1
\]Сократим противоположные члены:\[
a^{\frac{3}{8}} — a^{\frac{3}{8}} = 0, \quad a^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}} = 0, \quad a^{\frac{1}{8}} — a^{\frac{1}{8}} = 0
\]Итог:
\[
a^{\frac{2}{4}} — 1 = a^{\frac{1}{2}} — 1 = \sqrt{a} — 1;
\]
