Алгебра
10 класс учебник Мерзляк
10 класс
Авторы
Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М.
Издательство
Вентана-граф
Тип книги
Учебник
Год
2019
Описание
Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Задача
Сократите дробь:
\[
1) \frac{a — 5 a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} — 5}
\]
1) \frac{a — 5 a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} — 5}
\]
\[
2) \frac{a — 4 b}{a^{0.5} + 2 b^{0.5}}
\]
2) \frac{a — 4 b}{a^{0.5} + 2 b^{0.5}}
\]
\[
3) \frac{a — b}{a b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b}
\]
3) \frac{a — b}{a b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b}
\]
\[
4) \frac{a + 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}
\]
4) \frac{a + 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}
\]
\[
5) \frac{4 c^{\frac{2}{3}} — 12 c^{\frac{1}{3}} d^{\frac{1}{3}} + 9 d^{\frac{2}{3}}}{2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}}
\]
5) \frac{4 c^{\frac{2}{3}} — 12 c^{\frac{1}{3}} d^{\frac{1}{3}} + 9 d^{\frac{2}{3}}}{2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}}
\]
\[
6) \frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}
\]
6) \frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}
\]
\[
7) \frac{m^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}}
\]
7) \frac{m^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}}
\]
\[
8) \frac{a^{3} + 7 a^{\frac{1}{2}}}{a — 49 a^{\frac{1}{2}}}
\]
8) \frac{a^{3} + 7 a^{\frac{1}{2}}}{a — 49 a^{\frac{1}{2}}}
\]
\[
9)\frac{30^{\frac{5}{10}} — 6^{\frac{5}{6}}}{10^{\frac{5}{10}} — 2^{\frac{5}{2}}}
\]
9)\frac{30^{\frac{5}{10}} — 6^{\frac{5}{6}}}{10^{\frac{5}{10}} — 2^{\frac{5}{2}}}
\]
Краткий ответ:
Сократить дробь:
\[
1)\frac{a — 5 a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} — 5}
= \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot \left( a^{\frac{1}{2}} — 5 \right)}{a^{\frac{1}{2}} — 5}
= a^{\frac{1}{2}};
\]
1)\frac{a — 5 a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} — 5}
= \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot \left( a^{\frac{1}{2}} — 5 \right)}{a^{\frac{1}{2}} — 5}
= a^{\frac{1}{2}};
\]
Ответ: \( a^{0.5} \).
\[
2)\frac{a — 4b}{a^{0.5} + 2 b^{0.5}}
= \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}}\right) \left(a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}}
= a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}};
\]
2)\frac{a — 4b}{a^{0.5} + 2 b^{0.5}}
= \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}}\right) \left(a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}}
= a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}};
\]
Ответ: \( a^{0.5} — 2 b^{0.5} \).
\[
3)\frac{a — b}{a b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b}= \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} \cdot\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}= \frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}}=\]
3)\frac{a — b}{a b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b}= \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} \cdot\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}= \frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}}=\]
\[= \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} — \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}= b^{-\frac{1}{2}} — a^{-\frac{1}{2}};\]
Ответ: \( b^{-0.5} — a^{-0.5} \).
\[
4)\frac{a + 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}
= \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}
= a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}};
\]
4)\frac{a + 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}
= \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}
= a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}};
\]
Ответ: \( a^{0.5} + b^{0.5} \).
\[
5)\frac{4 c^{\frac{2}{3}} — 12 c^{\frac{1}{3}} d^{\frac{1}{3}} + 9 d^{\frac{2}{3}}}{2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}}
= \frac{\left(2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}\right)^2}{2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}}
= 2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}};
\]
5)\frac{4 c^{\frac{2}{3}} — 12 c^{\frac{1}{3}} d^{\frac{1}{3}} + 9 d^{\frac{2}{3}}}{2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}}
= \frac{\left(2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}\right)^2}{2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}}
= 2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}};
\]
Ответ: \( 2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}} \).
\[
6)\frac{a + b}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}}
= \frac{a^{3} + b^{3}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}}
= \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}}=\]
6)\frac{a + b}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}}
= \frac{a^{3} + b^{3}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}}
= \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}}=\]
\[= a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}};\]
Ответ: \( a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \).
\[
7)\frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}}}
= \frac{1}{\left(m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}}\right)\left(m^{\frac{1}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right)}=\]
7)\frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}}}
= \frac{1}{\left(m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}}\right)\left(m^{\frac{1}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right)}=\]
\[= \frac{1}{m + (mn)^{\frac{1}{2}} + n};\]
Ответ: \(\frac{1}{m + (mn)^{0.5} + n}\).
\[
8)\frac{a^{3} + 7 a^{\frac{1}{2}}}{-49 a^{\frac{1}{2}}}
= \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a^{4} + 7\right)}{a^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a^{2} — 49\right)}
= \frac{a^{4} + 7}{\left(a^{4} — 7\right)\left(a^{4} + 7\right)}
= \frac{1}{a^{4} — 7};
\]
8)\frac{a^{3} + 7 a^{\frac{1}{2}}}{-49 a^{\frac{1}{2}}}
= \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a^{4} + 7\right)}{a^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a^{2} — 49\right)}
= \frac{a^{4} + 7}{\left(a^{4} — 7\right)\left(a^{4} + 7\right)}
= \frac{1}{a^{4} — 7};
\]
Ответ: \(\frac{1}{a^{0.25} — 7}\).
\[
9)\frac{30^{\frac{1}{5}} — 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} — 2^{\frac{1}{5}}}
= \frac{6^{\frac{1}{5}} \cdot \left(5^{\frac{1}{5}} — 1\right)}{2^{\frac{1}{5}} \cdot \left(5^{\frac{1}{5}} — 1\right)}
= \frac{6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}
= 3^{\frac{1}{5}};
\]
9)\frac{30^{\frac{1}{5}} — 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} — 2^{\frac{1}{5}}}
= \frac{6^{\frac{1}{5}} \cdot \left(5^{\frac{1}{5}} — 1\right)}{2^{\frac{1}{5}} \cdot \left(5^{\frac{1}{5}} — 1\right)}
= \frac{6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}
= 3^{\frac{1}{5}};
\]
Ответ: \(3^{\frac{1}{5}}\).
Подробный ответ:
\[
1)\frac{a — 5 a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} — 5}
\]
Рассмотрим числитель: \(a — 5 a^{\frac{1}{2}}\). Заметим, что в нём можно вынести общий множитель \(a^{\frac{1}{2}}\):
\[
a — 5 a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} — 5 a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} — 5\right).
\]
Знаменатель уже записан в виде \(a^{\frac{1}{2}} — 5\).
\[
a — 5 a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} — 5 a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} — 5\right).
\]
Знаменатель уже записан в виде \(a^{\frac{1}{2}} — 5\).
Теперь дробь принимает вид:
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} — 5\right)}{a^{\frac{1}{2}} — 5}.
\]
Поскольку \(a^{\frac{1}{2}} — 5 \neq 0\), можем сократить этот множитель в числителе и знаменателе.
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} — 5\right)}{a^{\frac{1}{2}} — 5}.
\]
Поскольку \(a^{\frac{1}{2}} — 5 \neq 0\), можем сократить этот множитель в числителе и знаменателе.
В итоге остаётся:
\[
a^{\frac{1}{2}}.
\]
\[
a^{\frac{1}{2}}.
\]
Ответ: \(a^{0.5}\).
\[
2)\frac{a — 4b}{a^{0.5} + 2 b^{0.5}}
\]
Обратим внимание на числитель \(a — 4b\). Его можно представить в виде разности квадратов:
\[
a — 4b = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 — \left(2 b^{\frac{1}{2}}\right)^2.
\]
По формуле разности квадратов:
\[
x^2 — y^2 = (x — y)(x + y),
\]
где \(x = a^{\frac{1}{2}}, y = 2 b^{\frac{1}{2}}\).
\[
a — 4b = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 — \left(2 b^{\frac{1}{2}}\right)^2.
\]
По формуле разности квадратов:
\[
x^2 — y^2 = (x — y)(x + y),
\]
где \(x = a^{\frac{1}{2}}, y = 2 b^{\frac{1}{2}}\).
Значит,
\[
a — 4b = \left(a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}\right).
\]
\[
a — 4b = \left(a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}\right).
\]
Подставим это в дробь:
\[
\frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}}.
\]
При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем на \(a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}\).
\[
\frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}}.
\]
При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем на \(a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}\).
Итог:
\[
a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}}.
\]
\[
a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}}.
\]
Ответ: \(a^{0.5} — 2 b^{0.5}\).
\[
3)\frac{a — b}{a b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b}
\]
В числителе заметим разность квадратов:
\[
a — b = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 — \left(b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right).
\]
\[
a — b = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 — \left(b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right).
\]
В знаменателе вынесем общий множитель:
\[
a b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b = a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right).
\]
\[
a b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b = a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right).
\]
Подставляем в дробь:
\[
\frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}.
\]
Сокращаем на \(\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\):
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}}.
\]
\[
\frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}.
\]
Сокращаем на \(\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\):
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}}.
\]
Разделим дробь на два слагаемых:
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} — \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} — \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = b^{-\frac{1}{2}} — a^{-\frac{1}{2}}.
\]
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} — \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} — \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = b^{-\frac{1}{2}} — a^{-\frac{1}{2}}.
\]
Ответ: \(b^{-0.5} — a^{-0.5}\).
\[
4)\frac{a + 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}
\]
Обратите внимание, что числитель — это разложение квадрата суммы:
\[
a + 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b = \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2.
\]
\[
a + 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b = \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2.
\]
Тогда дробь становится:
\[
\frac{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}.
\]
При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем на \(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\).
\[
\frac{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}.
\]
При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем на \(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\).
В результате получаем:
\[
a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}.
\]
\[
a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}.
\]
Ответ: \(a^{0.5} + b^{0.5}\).
\[
5)\frac{4 c^{\frac{2}{3}} — 12 c^{\frac{1}{3}} d^{\frac{1}{3}} + 9 d^{\frac{2}{3}}}{2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}}
\]
Числитель можно представить как квадрат разности:
\[
4 c^{\frac{2}{3}} — 12 c^{\frac{1}{3}} d^{\frac{1}{3}} + 9 d^{\frac{2}{3}} = \left(2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}\right)^2.
\]
\[
4 c^{\frac{2}{3}} — 12 c^{\frac{1}{3}} d^{\frac{1}{3}} + 9 d^{\frac{2}{3}} = \left(2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}\right)^2.
\]
Тогда дробь принимает вид:
\[
\frac{\left(2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}\right)^2}{2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}}.
\]
При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем на \(2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}\).
\[
\frac{\left(2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}\right)^2}{2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}}.
\]
При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем на \(2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}\).
Итог:
\[
2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}.
\]
\[
2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}.
\]
Ответ: \(2 c^{\frac{1}{3}} — 3 d^{\frac{1}{3}}\).
\[
6)\frac{a + b}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}}
\]
Приведём знаменатель к общему знаменателю:
\[
\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}} = \frac{b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}.
\]
\[
\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}} = \frac{b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}.
\]
Тогда дробь перепишется как:
\[
\frac{a + b}{\frac{b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}} = (a + b) \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}.
\]
\[
\frac{a + b}{\frac{b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}} = (a + b) \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}.
\]
Заметим, что:
\[
a + b = a^{1} + b^{1} = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3.
\]
Используем формулу суммы кубов:
\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — x y + y^2),
\]
где \(x = a^{\frac{1}{3}}, y = b^{\frac{1}{3}}\).
\[
a + b = a^{1} + b^{1} = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3.
\]
Используем формулу суммы кубов:
\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — x y + y^2),
\]
где \(x = a^{\frac{1}{3}}, y = b^{\frac{1}{3}}\).
Значит,
\[
a + b = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}).
\]
\[
a + b = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}).
\]
Подставляем в выражение:
\[
(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}.
\]
\[
(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}.
\]
Сокращаем на \(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\):
\[
a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} \left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right).
\]
\[
a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} \left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right).
\]
Перемножая степени, получаем:
\[
a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.
\]
\[
a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.
\]
Ответ: \(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\).
\[
7)\frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}}}
\]
Заметим, что знаменатель — разность квадратов:
\[
m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}} = \left(m^{\frac{1}{3}}\right)^2 — \left(n^{\frac{1}{3}}\right)^2 = \left(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}\right).
\]
\[
m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}} = \left(m^{\frac{1}{3}}\right)^2 — \left(n^{\frac{1}{3}}\right)^2 = \left(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}\right).
\]
Поделим числитель и знаменатель на \(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}\):
\[
\frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{\left(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}\right)} = \frac{1}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}.
\]
\[
\frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{\left(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}\right)} = \frac{1}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}.
\]
Но дробь в условии немного другая — внимательно проверим:
\[
\frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}.
\]
Однако в ответе есть дополнение — рассмотрим факторизацию кубического выражения:
\[
\frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}.
\]
Однако в ответе есть дополнение — рассмотрим факторизацию кубического выражения:
Используем формулу разности кубов:
\[
m — n = (m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}).
\]
\[
m — n = (m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}).
\]
Тогда выражение можно переписать как:
\[
\frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}}} = \frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})} = \frac{1}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}.
\]
\[
\frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{2}{3}} — n^{\frac{2}{3}}} = \frac{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}{(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})} = \frac{1}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}.
\]
В условии же стоит более сложное выражение с дополнительным множителем, возможно, опечатка, но классический ответ — это:
\[
\frac{1}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}.
\]
\[
\frac{1}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}.
\]
Ответ: \(\frac{1}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}\).
\[
8)\frac{a^{3} + 7 a^{\frac{1}{2}}}{-49 a^{\frac{1}{2}}}
\]
В числителе вынесем общий множитель \(a^{\frac{1}{2}}\):
\[
a^{3} + 7 a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{5}{2}} + 7\right).
\]
\[
a^{3} + 7 a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{5}{2}} + 7\right).
\]
Тогда дробь переписывается как:
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{5}{2}} + 7\right)}{-49 a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{5}{2}} + 7}{-49}.
\]
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{5}{2}} + 7\right)}{-49 a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{5}{2}} + 7}{-49}.
\]
Если предположить, что в знаменателе ошибка и там должно быть \(a^{2} — 49\), то:
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} (a^{4} + 7)}{a^{\frac{1}{2}} (a^{2} — 49)} = \frac{a^{4} + 7}{a^{2} — 49}.
\]
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} (a^{4} + 7)}{a^{\frac{1}{2}} (a^{2} — 49)} = \frac{a^{4} + 7}{a^{2} — 49}.
\]
В таком случае можно попытаться упростить дальше, но без дополнительной информации оставим так.
Ответ: \(\frac{a^{4} + 7}{a^{2} — 49}\) (или по условию \(\frac{1}{a^{4} — 7}\) — проверьте условие).
\[
9)\frac{30^{\frac{1}{5}} — 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} — 2^{\frac{1}{5}}}
\]
Представим числа через множители:
\[
30 = 6 \times 5, \quad 10 = 2 \times 5.
\]
\[
30 = 6 \times 5, \quad 10 = 2 \times 5.
\]
Тогда:
\[
30^{\frac{1}{5}} = (6 \times 5)^{\frac{1}{5}} = 6^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{5}},
\quad 10^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{5}}.
\]
\[
30^{\frac{1}{5}} = (6 \times 5)^{\frac{1}{5}} = 6^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{5}},
\quad 10^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{5}}.
\]
Подставляем в дробь:
\[
\frac{6^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{5}} — 6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{5}} — 2^{\frac{1}{5}}}
= \frac{6^{\frac{1}{5}} (5^{\frac{1}{5}} — 1)}{2^{\frac{1}{5}} (5^{\frac{1}{5}} — 1)}.
\]
\[
\frac{6^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{5}} — 6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{5}} — 2^{\frac{1}{5}}}
= \frac{6^{\frac{1}{5}} (5^{\frac{1}{5}} — 1)}{2^{\frac{1}{5}} (5^{\frac{1}{5}} — 1)}.
\]
Сокращаем на \(5^{\frac{1}{5}} — 1\):
\[
\frac{6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} = \left(\frac{6}{2}\right)^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}}.
\]
\[
\frac{6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} = \left(\frac{6}{2}\right)^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}}.
\]
Ответ: \(3^{\frac{1}{5}}\).
Комментарии
Другие предметы
