Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Сократите дроби
\[1)\frac{a + 2 a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}\]
\[2)\frac{m^{\frac{5}{4}} n^{\frac{1}{4}} — m^{\frac{1}{4}} n^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{5}{4}} n^{\frac{5}{4}}}\]
\[3)\frac{a — b^{2}}{a — a^{\frac{1}{2}} b}\]
\[4)\frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}\]
\[5)\frac{a^{0.5} — b^{0.5}}{a — b}\]
\[6)\frac{x^{3.5} y^{2.5} — x^{2.5} y^{3.5}}{x + 2 x^{0.5} y^{0.5} + y}\]
\[7)\frac{a — 125}{a^{\frac{2}{3}} — 25}\]
\[8)\frac{m^{7/6} — 36 m^{5/6}}{m^{1/2} — 6 m^{1/3}}\]
\[9)\frac{24^{\frac{1}{4}} — 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} — 2^{\frac{1}{4}}}\]
Сократить дробь:
1) \( \frac{a + 2 a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = \frac{a^{\frac{1}{3}} \cdot \left(a^{\frac{2}{3}} + 2\right)}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = a^{\frac{1}{3}} \)
Ответ: \( a^{\frac{1}{3}} \).
2) \( \frac{m^{\frac{5}{4}} n^{\frac{1}{4}} — m^{\frac{1}{4}} n^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{5}{4}} n^{\frac{5}{4}}} = \frac{m^{\frac{1}{4}} n^{\frac{1}{4}} \left(m — n\right)}{m^{\frac{5}{4}} n^{\frac{5}{4}}} = \frac{m — n}{m n} = \frac{1}{n} — \frac{1}{m} \)
Ответ: \( \frac{1}{n} — \frac{1}{m} \).
3) \( \frac{a — b^{2}}{a — a^{\frac{1}{2}} b} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — b\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b\right)}{a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} — b\right)} = \frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{b}{a^{0.5}} \)
Ответ: \( 1 + \frac{b}{a^{0.5}} \).
4) \( \frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \)
Ответ: \( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \).
\[
5)\frac{a + 2 a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = \frac{a^{\frac{1}{3}} \cdot \left(a^{\frac{2}{3}} + 2\right)}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = a^{\frac{1}{3}}
\]
Ответ: \(a^{\frac{1}{3}}.\)
\[
6)\frac{x^{3.5} y^{2.5} — x^{2.5} y^{3.5}}{x + 2x^{0.5} y^{0.5} + y} = \frac{x^{2.5} y^{2.5} \cdot (x — y)}{\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)^2}=\]
\[= \frac{x^{2.5} y^{2.5} \cdot \left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right) \left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)}{\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)^2} =
\]
\[
=\frac{x^{2.5} y^{2.5} \cdot \left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} = x^{2.5} y^{2.5} \cdot \frac{x^{0.5} — y^{0.5}}{x^{0.5} + y^{0.5}};
\]
Ответ: \(x^{2.5} y^{2.5} \cdot \frac{x^{0.5} — y^{0.5}}{x^{0.5} + y^{0.5}}.\)
\[
7)\frac{a — 125}{a^{\frac{2}{3}} — 25} = \frac{a^{3} — 5^{3}}{a^{\frac{2}{3}} — 5^{2}}=\]
\[= \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} — 5\right) \left(a^{\frac{2}{3}} + 5 a^{\frac{1}{3}} + 5^{2}\right)}{\left(a^{\frac{1}{3}} — 5\right) \left(a^{\frac{1}{3}} + 5\right)} = \frac{a^{\frac{2}{3}} + 5 a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5};
\]
Ответ: \(\frac{a^{\frac{2}{3}} + 5 a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}\).
8) \( \frac{m^{\frac{7}{6}} — 36 m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} — 6 m^{\frac{1}{3}}} = \frac{5}{m^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( \frac{2}{m^{\frac{1}{6}}} — 36 \right)=\)
\(= \frac{5}{m^{\frac{1}{6}}} \cdot \left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} — 6 \right) \left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} + 6 \right) = \)
=\( \frac{5}{m^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{\left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} — 6 \right)}{m^{\frac{2}{6}} \cdot \left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} — 6 \right)} = m^{\frac{3}{6}} \cdot \left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} + 6 \right) = m^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} + 6 \right); \)
Ответ: \(m^{0.5} \left(\frac{1}{m^{1/6}} + 6\right).\)
9) \( \frac{2^{\frac{1}{4} \cdot 4} — 8^{\frac{1}{4}} \cdot \left( 3^{\frac{1}{4}} — 1 \right)}{6^{\frac{1}{4}} — 2^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}; \)
Ответ: \( 2^{\frac{1}{2}}. \)
1) Сокращение дроби
\[
\frac{a + 2 a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = \frac{a^{\frac{1}{3}} \cdot \left(a^{\frac{2}{3}} + 2\right)}{a^{\frac{2}{3}} + 2}
\]
Так как в числителе выделили общий множитель \(a^{\frac{1}{3}}\), а в знаменателе совпадает выражение, сокращаем:
\[
= a^{\frac{1}{3}}
\]
Ответ: \( a^{\frac{1}{3}} \).
2) Сокращение дроби с переменными \(m\) и \(n\)
\[
\frac{m^{\frac{5}{4}} n^{\frac{1}{4}} — m^{\frac{1}{4}} n^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{5}{4}} n^{\frac{5}{4}}} = \frac{m^{\frac{1}{4}} n^{\frac{1}{4}} \left(m — n\right)}{m^{\frac{5}{4}} n^{\frac{5}{4}}}
\]
Вынесем общий множитель \(m^{\frac{1}{4}} n^{\frac{1}{4}}\) в числителе, затем сократим степени в знаменателе:
\[
= \frac{m — n}{m n} = \frac{1}{n} — \frac{1}{m}
\]
Ответ: \( \frac{1}{n} — \frac{1}{m} \).
3) Сокращение дроби с выражениями \(a\) и \(b\)
\[
\frac{a — b^{2}}{a — a^{\frac{1}{2}} b} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — b\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b\right)}{a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} — b\right)}
\]
Разложим числитель на множители, вынесем общий множитель \(a^{\frac{1}{2}} — b\) и сократим:
\[
= \frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{b}{a^{0.5}}
\]
Ответ: \( 1 + \frac{b}{a^{0.5}} \).
4) Сокращение дроби с корнями
\[
\frac{a — b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}
\]
Воспользуемся формулой разложения разности кубов и сократим общий множитель:
\[
= a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}
\]
Ответ: \( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}} \).
5) Повтор задачи 1 для закрепления
\[
\frac{a + 2 a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = \frac{a^{\frac{1}{3}} \cdot \left(a^{\frac{2}{3}} + 2\right)}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = a^{\frac{1}{3}}
\]
Ответ: \( a^{\frac{1}{3}} \).
6) Сокращение дроби с переменными \(x\) и \(y\)
\[
\frac{x^{3.5} y^{2.5} — x^{2.5} y^{3.5}}{x + 2 x^{0.5} y^{0.5} + y} = \frac{x^{2.5} y^{2.5} \cdot (x — y)}{\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)^2}
\]
Разложим числитель, используя разность квадратов в знаменателе:
\[
= \frac{x^{2.5} y^{2.5} \cdot \left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right) \left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)}{\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)^2} =
\]
\[
= \frac{x^{2.5} y^{2.5} \cdot \left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} = x^{2.5} y^{2.5} \cdot \frac{x^{0.5} — y^{0.5}}{x^{0.5} + y^{0.5}}
\]
Ответ: \( x^{2.5} y^{2.5} \cdot \frac{x^{0.5} — y^{0.5}}{x^{0.5} + y^{0.5}} \).
7) Сокращение дроби с кубами
\[
\frac{a — 125}{a^{\frac{2}{3}} — 25} = \frac{a^{3} — 5^{3}}{a^{\frac{2}{3}} — 5^{2}} = \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} — 5\right) \left(a^{\frac{2}{3}} + 5 a^{\frac{1}{3}} + 25\right)}{\left(a^{\frac{1}{3}} — 5\right) \left(a^{\frac{1}{3}} + 5\right)}
\]
Сократим общий множитель \(a^{\frac{1}{3}} — 5\) в числителе и знаменателе:
\[
= \frac{a^{\frac{2}{3}} + 5 a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}
\]
Ответ: \( \frac{a^{\frac{2}{3}} + 5 a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5} \).
8) Сокращение дроби с дробными степенями
\[
\frac{m^{\frac{7}{6}} — 36 m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} — 6 m^{\frac{1}{3}}} = \frac{5}{m^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( \frac{2}{m^{\frac{1}{6}}} — 36 \right) = \frac{5}{m^{\frac{1}{6}}} \cdot \left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} — 6 \right) \left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} + 6 \right)
\]
Упростим выражение, сократив общий множитель:
\[
= \frac{5}{m^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{\left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} — 6 \right)}{m^{\frac{2}{6}} \cdot \left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} — 6 \right)} = m^{\frac{3}{6}} \cdot \left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} + 6 \right) = m^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{m^{\frac{1}{6}}} + 6 \right)
\]
Ответ: \( m^{0.5} \left(\frac{1}{m^{1/6}} + 6\right) \).
9) Сокращение степени с основанием 2
\[
\frac{2^{\frac{1}{4} \cdot 4} — 8^{\frac{1}{4}} \cdot \left( 3^{\frac{1}{4}} — 1 \right)}{6^{\frac{1}{4}} — 2^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}
\]
Ответ: \( 2^{\frac{1}{2}} \).
