Алгебра Базовый Уровень
10 класс учебник Мерзляк
10 класс
Автор
Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М.
Издательство
Вентана-граф.
Тип книги
Учебник.
Год
2019.
Описание
Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.25 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Задача
Упростите выражение
\[
1)\frac{a — b}{a^{0.5} — b^{0.5}} — \frac{a^{1.5} — b^{1.5}}{a — b}
\]
1)\frac{a — b}{a^{0.5} — b^{0.5}} — \frac{a^{1.5} — b^{1.5}}{a — b}
\]
\[
2)\frac{a^{0.5} — b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} + \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a^{0.5} — b^{0.5}}
\]
2)\frac{a^{0.5} — b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} + \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a^{0.5} — b^{0.5}}
\]
\[
3)\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}} b^{\frac{5}{6}} — a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{7}{6}}} \cdot
\frac{a — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}
\]
3)\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}} b^{\frac{5}{6}} — a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{7}{6}}} \cdot
\frac{a — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}
\]
\[
4)\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 — ab)^{\frac{2}{3}}} :
\frac{a^{\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}
\]
4)\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 — ab)^{\frac{2}{3}}} :
\frac{a^{\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}
\]
Краткий ответ:
Упростить выражение:
\[
1)\frac{a — b}{a^{0.5} — b^{0.5}} — \frac{a^{1.5} — b^{1.5}}{a — b} =
\frac{a — b}{a^{0.5} — b^{0.5}} — \frac{a^{1.5} — b^{1.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
1)\frac{a — b}{a^{0.5} — b^{0.5}} — \frac{a^{1.5} — b^{1.5}}{a — b} =
\frac{a — b}{a^{0.5} — b^{0.5}} — \frac{a^{1.5} — b^{1.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
\[
= \frac{(a — b)(a^{0.5} + b^{0.5}) — (a^{1.5} — b^{1.5})}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
= \frac{(a — b)(a^{0.5} + b^{0.5}) — (a^{1.5} — b^{1.5})}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
\[
= \frac{a^{1.5} + a b^{0.5} — b a^{0.5} — b^{1.5} — a^{1.5} + b^{1.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})} = \frac{a b^{0.5} — b a^{0.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
= \frac{a^{1.5} + a b^{0.5} — b a^{0.5} — b^{1.5} — a^{1.5} + b^{1.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})} = \frac{a b^{0.5} — b a^{0.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
\[
= \frac{a^{0.5} b^{0.5} \cdot (a^{0.5} — b^{0.5})}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})} = \frac{a^{0.5} b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}}
\]
= \frac{a^{0.5} b^{0.5} \cdot (a^{0.5} — b^{0.5})}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})} = \frac{a^{0.5} b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}}
\]
\[
2)\frac{a^{0.5} — b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} + \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a^{0.5} — b^{0.5}} =
\frac{(a^{0.5} — b^{0.5})^2 + (a^{0.5} + b^{0.5})^2}{(a^{0.5} + b^{0.5})(a^{0.5} — b^{0.5})}
\]
2)\frac{a^{0.5} — b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} + \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a^{0.5} — b^{0.5}} =
\frac{(a^{0.5} — b^{0.5})^2 + (a^{0.5} + b^{0.5})^2}{(a^{0.5} + b^{0.5})(a^{0.5} — b^{0.5})}
\]
\[
= \frac{(a — 2 a^{0.5} b^{0.5} + b) + (a + 2 a^{0.5} b^{0.5} + b)}{a — b} =
\frac{2a + 2b}{a — b} = \frac{2(a + b)}{a — b}
\]
= \frac{(a — 2 a^{0.5} b^{0.5} + b) + (a + 2 a^{0.5} b^{0.5} + b)}{a — b} =
\frac{2a + 2b}{a — b} = \frac{2(a + b)}{a — b}
\]
\[
3)\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}} b^{\frac{5}{6}} — a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}} =\]
3)\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}} b^{\frac{5}{6}} — a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}} =\]
\[=\frac{\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)^2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right)}{b^{\frac{1}{4}} \cdot \left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}} — b^{\frac{1}{6}} a^{\frac{1}{6}}\right)}=
\]
\]
\[
= \frac{\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot a^{\frac{1}{6}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{10}{12}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot b^{\frac{3}{12}}}=\]
= \frac{\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot a^{\frac{1}{6}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{10}{12}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot b^{\frac{3}{12}}}=\]
\[= \frac{\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{13}{12}}}
\]
\]
\[
4)\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 — ab)^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{-\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}} =
\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a \cdot (a — b))^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{-\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}=
\]
4)\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 — ab)^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{-\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}} =
\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a \cdot (a — b))^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{-\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}=
\]
\[
= \frac{(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}) \cdot (a^{3} — b^{3})^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}} =
\frac{a^{3} — b^{3}}{(a — b)^{3}} = \frac{(a — b)(a^{2} + ab + b^{2})}{a — b}=\]
= \frac{(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}) \cdot (a^{3} — b^{3})^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}} =
\frac{a^{3} — b^{3}}{(a — b)^{3}} = \frac{(a — b)(a^{2} + ab + b^{2})}{a — b}=\]
\[= a^{2} + ab + b^{2};\]
Подробный ответ:
Упростить выражение:
1) Исходное выражение:
\[
\frac{a — b}{a^{0.5} — b^{0.5}} — \frac{a^{1.5} — b^{1.5}}{a — b}
\]
\[
\frac{a — b}{a^{0.5} — b^{0.5}} — \frac{a^{1.5} — b^{1.5}}{a — b}
\]
Приведём второй дробь к знаменателю, содержащему разность корней, чтобы можно было объединить дроби.
\[
= \frac{a — b}{a^{0.5} — b^{0.5}} — \frac{a^{1.5} — b^{1.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
= \frac{a — b}{a^{0.5} — b^{0.5}} — \frac{a^{1.5} — b^{1.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
Приводим дроби к общему знаменателю \((a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5}) = a — b\).
\[
= \frac{(a — b)(a^{0.5} + b^{0.5}) — (a^{1.5} — b^{1.5})}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
= \frac{(a — b)(a^{0.5} + b^{0.5}) — (a^{1.5} — b^{1.5})}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
Раскрываем числитель.
\[
= \frac{a^{1.5} + a b^{0.5} — b a^{0.5} — b^{1.5} — a^{1.5} + b^{1.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
= \frac{a b^{0.5} — b a^{0.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
= \frac{a^{1.5} + a b^{0.5} — b a^{0.5} — b^{1.5} — a^{1.5} + b^{1.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
= \frac{a b^{0.5} — b a^{0.5}}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}
\]
Сокращаем одинаковые слагаемые в числителе.
\[
= \frac{a^{0.5} b^{0.5} (a^{0.5} — b^{0.5})}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})} = \frac{a^{0.5} b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}}
\]
= \frac{a^{0.5} b^{0.5} (a^{0.5} — b^{0.5})}{(a^{0.5} — b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})} = \frac{a^{0.5} b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}}
\]
Вынесли общий множитель в числителе и сократили с одним из множителей в знаменателе.
2) Исходное выражение:
\[
\frac{a^{0.5} — b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} + \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a^{0.5} — b^{0.5}}
\]
\[
\frac{a^{0.5} — b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} + \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a^{0.5} — b^{0.5}}
\]
Приведём к общему знаменателю и сложим дроби.
\[
= \frac{(a^{0.5} — b^{0.5})^2 + (a^{0.5} + b^{0.5})^2}{(a^{0.5} + b^{0.5})(a^{0.5} — b^{0.5})}
\]
= \frac{(a^{0.5} — b^{0.5})^2 + (a^{0.5} + b^{0.5})^2}{(a^{0.5} + b^{0.5})(a^{0.5} — b^{0.5})}
\]
Раскрываем квадраты в числителе.
\[
= \frac{(a — 2 a^{0.5} b^{0.5} + b) + (a + 2 a^{0.5} b^{0.5} + b)}{a — b} = \frac{2a + 2b}{a — b} = \frac{2(a + b)}{a — b}
\]
= \frac{(a — 2 a^{0.5} b^{0.5} + b) + (a + 2 a^{0.5} b^{0.5} + b)}{a — b} = \frac{2a + 2b}{a — b} = \frac{2(a + b)}{a — b}
\]
Складываем и сокращаем, учитывая, что \((a^{0.5} + b^{0.5})(a^{0.5} — b^{0.5}) = a — b\).
3) Исходное выражение:
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}} b^{\frac{5}{6}} — a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}
\]
\[
\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}} b^{\frac{5}{6}} — a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a — a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}
\]
Заменим числитель первой дроби через квадрат суммы корней:
\[
a^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}} = \left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)^2=
\]
\[
a^{\frac{1}{2}} + 2 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}} = \left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)^2=
\]
\[
= \frac{\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)^2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right)}{b^{\frac{1}{4}} \cdot \left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}} — b^{\frac{1}{6}} a^{\frac{1}{6}}\right)}
\]
= \frac{\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)^2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right)}{b^{\frac{1}{4}} \cdot \left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}} — b^{\frac{1}{6}} a^{\frac{1}{6}}\right)}
\]
Упростим знаменатель и числитель, сократив общий множитель \(\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)\).
\[
= \frac{\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot a^{\frac{1}{6}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{10}{12}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot b^{\frac{3}{12}}}=\]
= \frac{\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot a^{\frac{1}{6}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{10}{12}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot b^{\frac{3}{12}}}=\]
\[= \frac{\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{13}{12}}}
\]
\]
Сократили одинаковые множители в числителе и знаменателе.
4) Исходное выражение:
\[
\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 — ab)^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{-\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}
\]
Представим знаменатель в виде произведения: \((a^2 — ab) = a(a — b)\).
\[
= \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a \cdot (a — b))^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{-\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}
\]
Перепишем выражение, чтобы выделить общие множители.
\[
= \frac{(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}) \cdot (a^{3} — b^{3})^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} (a — b)^{\frac{2}{3}} \cdot (a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}})}
\]
Используем формулы разности кубов и сокращаем.
\[
= \frac{a^{3} — b^{3}}{(a — b)^{3}} = \frac{(a — b)(a^{2} + ab + b^{2})}{a — b}
\]
\[
= a^{2} + ab + b^{2}
\]
= a^{2} + ab + b^{2}
\]
Сокращаем \((a — b)\) и получаем итоговый ответ.
Комментарии
Другие предметы
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!