Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.26 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
\[
1)\frac{m — n}{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}} — \frac{m + n}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}
\]
\[
2) \left(1 — a^{\frac{1}{36}}\right) \left(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}\right) + \frac{4 — a^{\frac{1}{6}}}{2 — a^{\frac{1}{12}}}
\]
\[
3)\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) : \left(\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} — \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}\right)
\]
\[
4)\frac{\frac{m^{\frac{5}{2}} — m^{\frac{3}{2}}}{m^3 — m^{\frac{5}{2}}} — \frac{m^{\frac{1}{2}} + m}{m^2 + m^{\frac{3}{2}}}}{}
\]
Упростить выражение:
\[
1)\frac{m — n}{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}} — \frac{m + n}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}} =\]
\[\frac{m^{\frac{3}{3}} — n^{\frac{3}{3}}}{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}-\]
\[- \frac{m^{\frac{3}{3}} + n^{\frac{3}{3}}}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}} =\]
\[\frac{\left(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right)}{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}-\]
\[- \frac{\left(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right)}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}} =\]
\[
m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}} — \left(m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right) = 2 m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}}.
\]
Ответ: \(2 m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}}\).
\[
2)\left(1 — a^{\frac{1}{36}}\right) \left(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}\right) + \frac{4 — a^{\frac{1}{6}}}{2 — a^{\frac{1}{12}}} =
\left(1^3 — a^{\frac{1}{36} \cdot 3}\right) + \frac{2^2 — a^{\frac{1}{12} \cdot 2}}{2 — a^{\frac{1}{12}}} =
\]
\[
\frac{\left(1 — a^{\frac{1}{12}}\right)\left(2 — a^{\frac{1}{12}}\right)\left(2 + a^{\frac{1}{12}}\right)}{2 — a^{\frac{1}{12}} (1 — a^{\frac{1}{12}})} =
\left(1 — a^{\frac{1}{12}}\right) + \left(2 + a^{\frac{1}{12}}\right) = 3.
\]
Ответ: 3.
\[
3)\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) : \left(\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} — \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}\right) =
\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \frac{b^{\frac{5}{4}} a^{\frac{3}{4}} — a b}{a \cdot a^{\frac{3}{4}}} =
\]
\[
\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) : \frac{a^{\frac{3}{4}} b \cdot \left(b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}\right)}{a \cdot a^{\frac{3}{4}}} =
— \left(b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \frac{a}{b \cdot \left(b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}\right)} = — \frac{a}{b}.
\]
Ответ: \(- \frac{a}{b}\).
\[
4)\frac{m^{\frac{5}{2}} — m^{\frac{3}{2}}}{m^3 — m^{\frac{5}{2}}} — \frac{m^{\frac{1}{2}} + m}{m^2 + m^{\frac{3}{2}}} =
\frac{m^{\frac{3}{2}} \cdot (m — 1)}{m^{\frac{5}{2}} \cdot \left(m^{\frac{1}{2}} — 1\right)} — \frac{m^{\frac{1}{2}} \cdot \left(1 + m^{\frac{1}{2}}\right)}{m^{\frac{3}{2}} \cdot \left(m^{\frac{1}{2}} + 1\right)} =
\]
\[
\frac{\left(m^{\frac{1}{2}} — 1\right)\left(m^{\frac{1}{2}} + 1\right)}{m \cdot \left(m^{\frac{1}{2}} — 1\right)} — \frac{1}{m} =
\frac{m^{\frac{1}{2}} + 1}{m} — \frac{1}{m} = \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m} = m^{-\frac{1}{2}}.
\]
Ответ: \(m^{-0.5}\).
1) Выражение
Упростить:
\[
\frac{m — n}{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}} — \frac{m + n}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}
\]
Шаг 1: Представим числители через кубы:
\[
m = m^{\frac{3}{3}}, \quad n = n^{\frac{3}{3}}
\]
Тогда выражение становится:
\[
\frac{m^{\frac{3}{3}} — n^{\frac{3}{3}}}{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}} — \frac{m^{\frac{3}{3}} + n^{\frac{3}{3}}}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}
\]
Шаг 2: Применим формулы разности и суммы кубов:
\[
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)
\]
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)
\]
Подставим \(a = m^{\frac{1}{3}}\), \(b = n^{\frac{1}{3}}\):
\[
m^{\frac{3}{3}} — n^{\frac{3}{3}} = (m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})
\]
\[
m^{\frac{3}{3}} + n^{\frac{3}{3}} = (m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})
\]
Шаг 3: Подставим обратно в исходное выражение:
\[
\frac{(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}{m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}}-\]
\[- \frac{(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}
\]
Шаг 4: Сократим дроби, сокращая одинаковые множители:
\[
m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}} — \left(m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right)
\]
Шаг 5: Раскроем скобки:
\[
m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{2}{3}} = 2 m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}}
\]
Ответ: \(2 m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}}\).
2) Выражение
Упростить:
\[
\left(1 — a^{\frac{1}{36}}\right) \left(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}\right) + \frac{4 — a^{\frac{1}{6}}}{2 — a^{\frac{1}{12}}}
\]
Шаг 1: Заметим формулу разности кубов:
\[
(1 — x)(1 + x + x^2) = 1 — x^3
\]
Пусть \(x = a^{\frac{1}{36}}\), тогда:
\[
\left(1 — a^{\frac{1}{36}}\right) \left(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}\right) = 1 — a^{\frac{3}{36}} = 1 — a^{\frac{1}{12}}
\]
Шаг 2: Упростим дробь:
\[
\frac{4 — a^{\frac{1}{6}}}{2 — a^{\frac{1}{12}}}
\]
Представим числитель как разность квадратов:
\[
4 = 2^2, \quad a^{\frac{1}{6}} = \left(a^{\frac{1}{12}}\right)^2
\]
Тогда:
\[
4 — a^{\frac{1}{6}} = (2)^2 — \left(a^{\frac{1}{12}}\right)^2 = (2 — a^{\frac{1}{12}})(2 + a^{\frac{1}{12}})
\]
Шаг 3: Сократим дробь:
\[
\frac{(2 — a^{\frac{1}{12}})(2 + a^{\frac{1}{12}})}{2 — a^{\frac{1}{12}}} = 2 + a^{\frac{1}{12}}
\]
Шаг 4: Сложим оба результата:
\[
\left(1 — a^{\frac{1}{12}}\right) + \left(2 + a^{\frac{1}{12}}\right) = 3
\]
Ответ: 3.
3) Выражение
Упростить:
\[
\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) : \left(\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} — \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}\right)
\]
Шаг 1: Приведём знаменатель к общему виду:
\[
\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} — \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}} = \frac{b^{\frac{5}{4}} a^{\frac{3}{4}} — a b}{a \cdot a^{\frac{3}{4}}}
\]
Шаг 2: Перепишем деление как умножение на обратное:
\[
\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) : \frac{b^{\frac{5}{4}} a^{\frac{3}{4}} — a b}{a \cdot a^{\frac{3}{4}}} =
\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \frac{a \cdot a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{5}{4}} a^{\frac{3}{4}} — a b}
\]
Шаг 3: Вынесем общий множитель в числителе знаменателя:
\[
b^{\frac{5}{4}} a^{\frac{3}{4}} — a b = a^{\frac{3}{4}} b \cdot \left(b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}\right)
\]
Шаг 4: Подставим в выражение и упростим:
\[
\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \frac{a \cdot a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{3}{4}} b \cdot \left(b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}\right)} =
\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \frac{a}{b \cdot \left(b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}\right)}
\]
Шаг 5: Заменим \(\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) = -\left(b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}\right)\):
Тогда выражение равно:
\[
— \frac{a}{b}
\]
Ответ: \(- \frac{a}{b}\).
\frac{m^{\frac{5}{2}} — m^{\frac{3}{2}}}{m^3 — m^{\frac{5}{2}}} — \frac{m^{\frac{1}{2}} + m}{m^2 + m^{\frac{3}{2}}}
\]Шаг 1: Вынесем общий множитель в числителях и знаменателях:\[
\frac{m^{\frac{3}{2}} (m — 1)}{m^{\frac{5}{2}} (m^{\frac{1}{2}} — 1)} — \frac{m^{\frac{1}{2}} (1 + m^{\frac{1}{2}})}{m^{\frac{3}{2}} (m^{\frac{1}{2}} + 1)}
\]Шаг 2: Упростим дроби:\[
\frac{m^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{m — 1}{m^{\frac{1}{2}} — 1} = m^{-1} \cdot \frac{m — 1}{m^{\frac{1}{2}} — 1}
\]
\[
\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1 + m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + 1} = m^{-1} \cdot 1 = m^{-1}
\]Шаг 3: Упростим дробь \(\frac{m — 1}{m^{\frac{1}{2}} — 1}\):Заметим, что
\[
m — 1 = (m^{\frac{1}{2}} — 1)(m^{\frac{1}{2}} + 1)
\]
Следовательно,
\[
\frac{m — 1}{m^{\frac{1}{2}} — 1} = m^{\frac{1}{2}} + 1
\]Шаг 4: Подставим обратно и упростим:\[
m^{-1} \cdot (m^{\frac{1}{2}} + 1) — m^{-1} = m^{-1} m^{\frac{1}{2}} + m^{-1} — m^{-1} = m^{-\frac{1}{2}}
\]Ответ: \(m^{-0.5}\).
