ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.27 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \left( \frac{a^{0.5} + 2}{a + 2a^{0.5} + 1} — \frac{a^{0.5} — 2}{a — 1} \right) : \frac{a^{0.5}}{a^{0.5} + 1} = \frac{2}{a — 1}; \)

\[
2)\frac{(a — b)^2}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}
+ \frac{a^2 — b^2}{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right) \left(a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b \right)}
= 2a^{\frac{1}{2}} — 2b^{\frac{1}{2}}.
\]

Докажите тождество:

1) \( \left( \frac{a^{0.5} + 2}{a + 2a^{0.5} + 1} — \frac{a^{0.5} — 2}{a — 1} \right) : \frac{a^{0.5}}{a^{0.5} + 1} = \)

Первоначально рассмотрим выражение в первой части. Мы видим два дробных выражения, каждое из которых нужно преобразовать и упростить. Для начала определим общие знаменатели в обеих частях, чтобы объединить их:

\( = \frac{\frac{a^{0.5} + 2}{(a^{0.5} + 1)^2} — \frac{a^{0.5} — 2}{(a^{0.5} — 1)(a^{0.5} + 1)}}{1} \cdot \frac{a^{0.5} + 1}{a^{0.5}} = \)

Здесь мы видим, что в первой части мы должны привести к общему знаменателю два дробных выражения. Для этого мы используем стандартные алгебраические методы:

\( \left( \frac{a^{0.5} + 2}{a^{0.5} + 1} — \frac{a^{0.5} — 2}{a^{0.5} — 1} \right) \cdot \frac{1}{a^{0.5}} = \)

Следующий шаг — разложить каждое из выражений на множители и сократить их для упрощения:

\( = \frac{(a^{0.5} + 2)(a^{0.5} — 1) — (a^{0.5} — 2)(a^{0.5} + 1)}{(a^{0.5} + 1)(a^{0.5} — 1)} \cdot \frac{1}{a^{0.5}} = \)

На этом шаге мы раскрываем скобки и сокращаем все возможные множители для дальнейшего упрощения. Также важно заметить, что мы можем объединить подобные термины для лучшего результата:

\( = \frac{(a — a^{0.5} + 2 a^{0.5} — 2) — (a + a^{0.5} — 2 a^{0.5} — 2)}{(a — 1) \cdot a^{0.5}} = \)

Теперь продолжим упрощение, обработав каждый термин в числителе и знаменателе, чтобы получить итоговое выражение:

\( = \frac{(a + a^{0.5} — 2) — (a — a^{0.5} — 2)}{(a — 1) \cdot a^{0.5}} = \frac{2 a^{0.5}}{a^{0.5} \cdot (a — 1)} = \frac{2}{a — 1}; \)

Ответ: \( \frac{2}{a — 1} \).

Тождество доказано.

2) \( \frac{(a — b)^2}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^2 — b^2}{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b\right)} = \)

Рассмотрим выражение в этой части. Первоначально мы видим дроби, содержащие различие квадратов и степени. Для упрощения нужно разложить эти выражения и объединить их. Начнем с первого слагаемого, разлагая числитель и знаменатель:

\( \frac{(a — b)(a — b)}{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}} + \frac{(a — b)(a + b)}{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b\right)} = \)

Теперь, приводя к общему знаменателю и раскрывая скобки, получаем более сложное выражение, которое нужно упростить:

\( \frac{
\left(a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}\right) \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right) (a — b)
}{
\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right) \left(a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b\right)
} +
\frac{
\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right) \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right) (a + b)
}{
\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right) \left(a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b\right)
} = \)

После упрощения числителей и знаменателей мы получаем следующее выражение, которое далее также нужно сократить и привести к более удобному виду:

\( \frac{
a^{\frac{3}{2}} — b a^{\frac{1}{2}} + a b^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{3}{2}}
}{
a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b
} +
\frac{
a^{\frac{3}{2}} + b a^{\frac{1}{2}} — a b^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{3}{2}}
}{
a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b
} = \)

Наконец, упрощаем итоговое выражение и получаем результат:

\( \frac{2 a^{\frac{3}{2}} — 2 b^{\frac{3}{2}}}{a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b} = 2 a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}}; \)

Ответ: \( 2 a^{\frac{1}{2}} — 2 b^{\frac{1}{2}} \).

Тождество доказано.