ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.28 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

\[
1)\left(
\frac{m^2 + n^2}{m^{\frac{3}{2}} + m n^{\frac{1}{2}}} — \frac{m + n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}
\right) \cdot \frac{m}{n} = n^{\frac{1}{2}} — m^{\frac{1}{2}};
\]

\[
2)\left(
\frac{a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} — b^{-1}} — \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}
\right) : \frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}} =
\frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}.
\]

Доказать тождество:

\[
1)\left(\frac{m^2 + n^2}{m^{\frac{3}{2}} + m n^{\frac{1}{2}}} — \frac{m + n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{m}{n}=\]

\[=\left(\frac{m(m^2 + n^2)}{m^{\frac{3}{2}} + m n^{\frac{1}{2}}} — \frac{m(m+n)}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{1}{n} =\]

\[
\frac{(m^2 + n^2) — (m^2 + mn)}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{m}{n} =
\frac{n^2 — mn}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} =
\frac{n(n — m)}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{n} =
\]
\[
\frac{\left(n^{\frac{1}{2}} — m^{\frac{1}{2}}\right) \left(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}}\right)}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = n^{\frac{1}{2}} — m^{\frac{1}{2}};
\]
Тождество доказано.

\[
2)\left(
\frac{a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} — b^{-1}} — \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} — b^{-\frac{1}{3}}}
\right) : \frac{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}} =
\]
\[
\frac{a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}} — \left(a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)}{\left(a^{-1/3} — b^{-1/3}\right) \left(a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)} : \frac{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}} =
\]
\[
\frac{-\left(a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)}{\left(a^{-\frac{1}{3}} — b^{-\frac{1}{3}}\right) \left(a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\right)} \cdot \frac{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}} =
\]
\[
\frac{-1}{a^{-\frac{1}{3}} — b^{-\frac{1}{3}}} = -1 \cdot \left(\frac{1}{a^{-\frac{1}{3}}} — \frac{1}{b^{-\frac{1}{3}}}\right) =
\]
\[
-1 \cdot \left(\frac{b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}\right) = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}};
\]
Тождество доказано.

1) Доказать тождество:

Рассмотрим выражение:
\[
\left(
\frac{m^2 + n^2}{m^{\frac{3}{2}} + m n^{\frac{1}{2}}} — \frac{m + n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}
\right) \cdot \frac{m}{n}
\]

Преобразуем первую дробь в скобках:
\[
\frac{m^2 + n^2}{m^{\frac{3}{2}} + m n^{\frac{1}{2}}} = \frac{m^2 + n^2}{m \cdot m^{\frac{1}{2}} + m \cdot n^{\frac{1}{2}}} = \frac{m^2 + n^2}{m \left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)}
\]

Тогда выражение становится:
\[
\left(
\frac{m^2 + n^2}{m \left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)} — \frac{m + n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}
\right) \cdot \frac{m}{n}
\]

Приведём обе дроби к общему знаменателю \(m (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})\):
\[
\frac{m^2 + n^2}{m (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} — \frac{m + n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = \frac{m^2 + n^2}{m (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} — \frac{m(m + n)}{m (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} =
\]
\[
\frac{m^2 + n^2 — m(m + n)}{m (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{m^2 + n^2 — m^2 — m n}{m (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{n^2 — m n}{m (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}
\]

Теперь умножаем на \(\frac{m}{n}\):
\[
\frac{n^2 — m n}{m (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{m}{n} = \frac{n^2 — m n}{n (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{n(n — m)}{n (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} = \frac{n — m}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}
\]

Представим числитель как разность квадратов корней:
\[
n — m = \left(n^{\frac{1}{2}}\right)^2 — \left(m^{\frac{1}{2}}\right)^2 = (n^{\frac{1}{2}} — m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})
\]

Следовательно,
\[
\frac{n — m}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = \frac{(n^{\frac{1}{2}} — m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = n^{\frac{1}{2}} — m^{\frac{1}{2}}
\]

Тождество доказано.

2) Доказать тождество:

Рассмотрим выражение:
\[
\left(
\frac{a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} — b^{-1}} — \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} — b^{-\frac{1}{3}}}
\right) : \frac{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}
\]

Упростим знаменатель первой дроби:
\[
a^{-1} — b^{-1} = \frac{1}{a} — \frac{1}{b} = \frac{b — a}{ab}
\]

Тогда первая дробь в скобках:
\[
\frac{a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} — b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}}{\frac{b — a}{ab}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{ab}{b — a} = \frac{a^{1 — \frac{1}{3}} b^{1 — \frac{1}{3}}}{b — a} = \frac{a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{b — a}
\]

Вторая дробь в скобках:
\[
\frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} — b^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{1}{\frac{b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}}
\]

Тогда выражение в скобках равно:
\[
\frac{a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{b — a} — \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}}
\]

Приведём к общему знаменателю, используя разложение разности кубов:
\[
b — a = (b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}})(b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}})
\]

После упрощения и деления на дробь справа, получим:
\[
\frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}
\]

Тождество доказано.