ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Представьте корень в виде степени с дробным показателем:

1) \( \sqrt{x}; \)

2) \( \sqrt[7]{6^5}; \)

3) \( \sqrt[5]{2^{-2}}; \)

4) \( \sqrt[8]{a^7 — b^7}. \)

Представить корень в виде степени с дробным показателем:

1. \[
   \sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac{1}{2}} = x^{0,5};
   \]Ответ: \(x^{0,5}\).
2. \[
   \sqrt[7]{6^5} = 6^{\frac{5}{7}};
   \]Ответ: \(6^{\frac{5}{7}}\).
3. \[
   \sqrt[5]{2^{-2}} = 2^{-\frac{2}{5}} = 2^{-0,4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{0,4} = 0,5^{0,4};
   \]Ответ: \(0,5^{0,4}\).
4. \[
   \sqrt[8]{a^7 — b^7} = \sqrt[8]{(a^7 — b^7)^1} = (a^7 — b^7)^{\frac{1}{8}};
   \]Ответ: \((a^7 — b^7)^{\frac{1}{8}}\).

Пример 1:

\[
\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac{1}{2}} = x^{0,5}.
\]

Здесь корень квадратный из \(x\) можно представить как возведение числа \(x\) в степень \(\frac{1}{2}\), что эквивалентно степени с десятичным дробным показателем \(0,5\). Это одно из базовых и наиболее часто используемых преобразований в алгебре.

Ответ: \(x^{0,5}\).

Пример 2:

\[
\sqrt[7]{6^5} = 6^{\frac{5}{7}}.
\]

В данном случае мы имеем корень седьмой степени из числа \(6^5\). Согласно правилу, корень с показателем \(n\) из числа, возведённого в степень \(m\), равен возведению этого числа в степень \(\frac{m}{n}\). Здесь \(m=5\), \(n=7\), поэтому выражение равно \(6^{\frac{5}{7}}\).

Ответ: \(6^{\frac{5}{7}}\).

Пример 3:

\[
\sqrt[5]{2^{-2}} = 2^{-\frac{2}{5}} = 2^{-0,4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{0,4} = 0,5^{0,4}.
\]

Здесь мы видим более сложный пример: подкоренное выражение — это \(2^{-2}\), что эквивалентно \(\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). Взятие пятого корня из этого числа соответствует возведению в степень \(\frac{1}{5}\). Комбинируя показатели, получаем степень \(-\frac{2}{5}\) или десятичный эквивалент \(-0,4\). Чтобы избавиться от отрицательного показателя, можно переписать как \(\left(\frac{1}{2}\right)^{0,4}\), что равно \(0,5^{0,4}\).

Ответ: \(0,5^{0,4}\).

Пример 4:

\[
\sqrt[8]{a^7 — b^7} = \sqrt[8]{(a^7 — b^7)^1} = (a^7 — b^7)^{\frac{1}{8}}.
\]

В этом примере подкоренное выражение — разность степеней \(a^7 — b^7\). Взятие корня восьмой степени из этого выражения соответствует возведению в степень \(\frac{1}{8}\). Это позволяет упростить запись и использовать свойства степеней для дальнейших преобразований.

Ответ: \((a^7 — b^7)^{\frac{1}{8}}\).