Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Представьте корень в виде степени с дробным показателем:
1) \( \sqrt{x}; \)
2) \( \sqrt[7]{6^5}; \)
3) \( \sqrt[5]{2^{-2}}; \)
4) \( \sqrt[8]{a^7 — b^7}. \)
Представить корень в виде степени с дробным показателем:
- \[
\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac{1}{2}} = x^{0,5};
\]Ответ: \(x^{0,5}\). - \[
\sqrt[7]{6^5} = 6^{\frac{5}{7}};
\]Ответ: \(6^{\frac{5}{7}}\). - \[
\sqrt[5]{2^{-2}} = 2^{-\frac{2}{5}} = 2^{-0,4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{0,4} = 0,5^{0,4};
\]Ответ: \(0,5^{0,4}\). - \[
\sqrt[8]{a^7 — b^7} = \sqrt[8]{(a^7 — b^7)^1} = (a^7 — b^7)^{\frac{1}{8}};
\]Ответ: \((a^7 — b^7)^{\frac{1}{8}}\).
Пример 1:
\[
\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac{1}{2}} = x^{0,5}.
\]
Здесь корень квадратный из \(x\) можно представить как возведение числа \(x\) в степень \(\frac{1}{2}\), что эквивалентно степени с десятичным дробным показателем \(0,5\). Это одно из базовых и наиболее часто используемых преобразований в алгебре.
Ответ: \(x^{0,5}\).
Пример 2:
\[
\sqrt[7]{6^5} = 6^{\frac{5}{7}}.
\]
В данном случае мы имеем корень седьмой степени из числа \(6^5\). Согласно правилу, корень с показателем \(n\) из числа, возведённого в степень \(m\), равен возведению этого числа в степень \(\frac{m}{n}\). Здесь \(m=5\), \(n=7\), поэтому выражение равно \(6^{\frac{5}{7}}\).
Ответ: \(6^{\frac{5}{7}}\).
Пример 3:
\[
\sqrt[5]{2^{-2}} = 2^{-\frac{2}{5}} = 2^{-0,4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{0,4} = 0,5^{0,4}.
\]
Здесь мы видим более сложный пример: подкоренное выражение — это \(2^{-2}\), что эквивалентно \(\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). Взятие пятого корня из этого числа соответствует возведению в степень \(\frac{1}{5}\). Комбинируя показатели, получаем степень \(-\frac{2}{5}\) или десятичный эквивалент \(-0,4\). Чтобы избавиться от отрицательного показателя, можно переписать как \(\left(\frac{1}{2}\right)^{0,4}\), что равно \(0,5^{0,4}\).
Ответ: \(0,5^{0,4}\).
Пример 4:
\[
\sqrt[8]{a^7 — b^7} = \sqrt[8]{(a^7 — b^7)^1} = (a^7 — b^7)^{\frac{1}{8}}.
\]
В этом примере подкоренное выражение — разность степеней \(a^7 — b^7\). Взятие корня восьмой степени из этого выражения соответствует возведению в степень \(\frac{1}{8}\). Это позволяет упростить запись и использовать свойства степеней для дальнейших преобразований.
Ответ: \((a^7 — b^7)^{\frac{1}{8}}\).
