Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \(\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} — 3 = 0;\)
2) \(\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} — 6 = 0;\)
3) \(2x — 7\sqrt{x} — 15 = 0;\)
4) \(\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 4;\)
5) \(2\sqrt{x + 1} — 5 = \frac{3}{\sqrt{x + 1}};\)
6) \(x^2 — x + 9 + \sqrt{x^2 — x + 9} = 12;\)
7) \(\sqrt[3]{x^2 — 4x + 4} — 2\sqrt[3]{x — 2} — 3 = 0;\)
8) \(\frac{1}{\sqrt[4]{x — 1}} + \frac{3}{\sqrt[4]{x + 1}} = 2;\)
9) \(\sqrt{\frac{x + 5}{x — 1}} + 7\sqrt{\frac{x — 1}{x + 5}} = 8;\)
10) \(\frac{\sqrt[3]{x^2 — 1}}{\sqrt[3]{x^2 — 1}} — \frac{\sqrt[3]{x^2 — 1}}{\sqrt[3]{x^2 + 1}} = 4;\)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \(\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} — 3 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt[3]{x},\) тогда:
\(2y^2 + y — 3 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2};\)
и \(y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -\frac{3}{2},\) подставляем: \(x_1 = \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{27}{8};\)
Для \(y_2 = 1,\) подставляем: \(x_2 = 1^3 = 1;\)
Ответ: \(-\frac{3}{8}; 1.\)
2) \(\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} — 6 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt[4]{x},\) тогда:
\(y^2 + y — 6 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3\) и \(y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -3,\) подставляем: \(x_1 = (-3)^4 = 81;\)
Для \(y_2 = 2,\) подставляем: \(x_2 = 2^4 = 16;\)
Ответ: \(16.\)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
3) \(2x — 7\sqrt{x} — 15 = 0;\)
Теперь преобразуем уравнение: \(2x^2 — 7x — 15 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt{x},\) тогда:
Уравнение: \(2y^2 — 7y — 15 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{7 — 13}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2};\)
и \(y_2 = \frac{7 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -\frac{3}{2},\) подставляем: \(x_1 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4};\)
Для \(y_2 = 5,\) подставляем: \(x_2 = 5^2 = 25;\)
Ответ: \(25.\)
4) \(\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 4;\)
Теперь решаем: \(\sqrt[6]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} — 4 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt[6]{x},\) тогда:
Уравнение: \(y^2 + 3y — 4 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4\) и \(y_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -4,\) подставляем: \(x_1 = (-4)^6 = 4096;\)
Для \(y_2 = 1,\) подставляем: \(x_2 = 1^6 = 1;\)
Ответ: \(1.\)
5) \(2\sqrt{x + 1} — 5 = \frac{3}{\sqrt{x + 1}};\)
Пусть \(y = \sqrt{x + 1},\) тогда:
Уравнение: \(2y — 5 = \frac{3}{y};\)
Теперь умножаем обе стороны на \(y:\) \(2y^2 — 5y = 3;\)
Решаем: \(2y^2 — 5y — 3 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2};\)
и \(y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -\frac{1}{2},\) подставляем: \(\sqrt{x + 1} = -\frac{1}{2};\) это решение не подходит, так как квадратный корень не может быть отрицательным.
Для \(y_2 = 3,\) подставляем: \(\sqrt{x + 1} = 3;\)
Возводим обе стороны в квадрат: \(x + 1 = 9;\)
Получаем: \(x = 9 — 1 = 8;\)
Ответ: \(8.\)
6) \(x^2 — x + 9 + \sqrt{x^2 — x + 9} = 12;\)
Преобразуем уравнение: \(\sqrt{x^2 — x + 9} + \sqrt{x^2 — x + 9} — 12 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt{x^2 — x + 9},\) тогда:
Уравнение: \(y^2 + y — 12 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4\) и \(y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -4,\) подставляем: \(\sqrt{x^2 — x + 9} = -4;\) это решение не подходит, так как квадратный корень не может быть отрицательным.
Для \(y_2 = 3,\) подставляем: \(\sqrt{x^2 — x + 9} = 3;\)
Возводим обе стороны в квадрат: \(x^2 — x + 9 = 9;\)
Получаем: \(x^2 — x = 0;\)
Решаем: \(x(x — 1) = 0;\)
Таким образом, \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1;\)
Ответ: \(0; 1.\)
7) \(\sqrt[3]{x^2 — 4x + 4} — 2\sqrt[3]{x — 2} — 3 = 0;\)
\(\sqrt[3]{(x — 2)^2} — 2\sqrt[3]{x — 2} — 3 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt[3]{x — 2},\) тогда:
Уравнение: \(y^2 — 2y — 3 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1\) и \(y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;\)
Первое значение:
\(\sqrt[3]{x — 2} = -1;\)
Подставляем: \(x — 2 = -1;\)
Решение: \(x = 2 — 1 = 1;\)
Второе значение:
\(\sqrt[3]{x — 2} = 3;\)
Подставляем: \(x — 2 = 27;\)
Решение: \(x = 27 + 2 = 29;\)
Ответ: \(1; 29.\)
8) \(\frac{1}{\sqrt[4]{x — 1}} + \frac{3}{\sqrt[4]{x + 1}} = 2;\)
Пусть \(y = \sqrt[4]{x},\) тогда:
\(\frac{1}{y — 1} + \frac{3}{y + 1} = 2;\)
Умножаем обе стороны на \((y — 1)(y + 1):\)
\((y + 1) + 3(y — 1) = 2(y — 1)(y + 1);\)
Раскрываем и упрощаем: \(y + 1 + 3y — 3 = 2y^2 — 2;\)
Получаем: \(4y — 2 = 2y^2 — 2;\)
Преобразуем: \(2y^2 — 4y = 0;\)
Решаем: \(2y(y — 2) = 0;\)
Корни: \(y_1 = 0\) и \(y_2 = 2;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = 0,\) подставляем: \(x_1 = 0^4 = 0;\)
Для \(y_2 = 2,\) подставляем: \(x_2 = 2^4 = 16;\)
Ответ: \(0; 16.\)
9) \(\frac{x + 5}{x — 1} + 7 = 8;\)
Пусть \(y = \frac{x + 5}{x — 1},\) тогда:
Уравнение: \(y + 7 = 8y;\)
После упрощения: \(y^2 — 8y + 7 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 64 + 28 = 36,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1\) и \(y_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7;\)
Первое значение:
\(\frac{x + 5}{x — 1} = 1;\)
Решение: \(x + 5 = x — 1;\)
Получаем: \(x = -6;\) это решение не подходит, так как квадратный корень не может быть отрицательным.
Второе значение:
\(\frac{x + 5}{x — 1} = 7;\)
Решение: \(x + 5 = 49(x — 1);\)
Раскрываем скобки: \(x + 5 = 49x — 49;\)
Получаем: \(48x = 54;\)
Решение: \(x = \frac{54}{48} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8};\)
Ответ: \(1 \frac{1}{8}.\)
10) \( \frac{x^3\sqrt{x — 1}}{ \sqrt[3]{x^2 — 1}} — \frac{\sqrt[3]{x^2 — 1}}{\sqrt[3]{x + 1}} = 4;\)
Пусть \( y = \sqrt[3]{x}, \) тогда:
\( \frac{y^3 \cdot y — 1}{y^2 — 1} — \frac{y^2 — 1}{y + 1} = 4; \)
Упростим выражение:
\( (y^2 — 1)(y^2 + 1) — (y — 1)(y + 1) = 4; \)
После раскрытия скобок:
\( y^2 — y — 2 = 0;\)
Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -1, \) подставляем: \( x_1 = (-1)^3 = -1; \)
Для \( y_2 = 2, \) подставляем: \( x_2 = 2^3 = 8; \)
Ответ: \( 8. \)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \(\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} — 3 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt[3]{x},\) тогда:
\(2y^2 + y — 3 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2};\)
и \(y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -\frac{3}{2},\) подставляем: \(x_1 = \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{27}{8};\)
Для \(y_2 = 1,\) подставляем: \(x_2 = 1^3 = 1;\)
Ответ: \(-\frac{3}{8}; 1.\)
2) \(\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} — 6 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt[4]{x},\) тогда:
\(y^2 + y — 6 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3\) и \(y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -3,\) подставляем: \(x_1 = (-3)^4 = 81;\)
Для \(y_2 = 2,\) подставляем: \(x_2 = 2^4 = 16;\)
Ответ: \(16.\)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
3) \(2x — 7\sqrt{x} — 15 = 0;\)
Теперь преобразуем уравнение: \(2x^2 — 7x — 15 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt{x},\) тогда:
Уравнение: \(2y^2 — 7y — 15 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{7 — 13}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2};\)
и \(y_2 = \frac{7 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -\frac{3}{2},\) подставляем: \(x_1 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4};\)
Для \(y_2 = 5,\) подставляем: \(x_2 = 5^2 = 25;\)
Ответ: \(25.\)
4) \(\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 4;\)
Теперь решаем: \(\sqrt[6]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} — 4 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt[6]{x},\) тогда:
Уравнение: \(y^2 + 3y — 4 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4\) и \(y_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -4,\) подставляем: \(x_1 = (-4)^6 = 4096;\)
Для \(y_2 = 1,\) подставляем: \(x_2 = 1^6 = 1;\)
Ответ: \(1.\)
5) \(2\sqrt{x + 1} — 5 = \frac{3}{\sqrt{x + 1}};\)
Пусть \(y = \sqrt{x + 1},\) тогда:
Уравнение: \(2y — 5 = \frac{3}{y};\)
Теперь умножаем обе стороны на \(y:\) \(2y^2 — 5y = 3;\)
Решаем: \(2y^2 — 5y — 3 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2};\)
и \(y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -\frac{1}{2},\) подставляем: \(\sqrt{x + 1} = -\frac{1}{2};\) это решение не подходит, так как квадратный корень не может быть отрицательным.
Для \(y_2 = 3,\) подставляем: \(\sqrt{x + 1} = 3;\)
Возводим обе стороны в квадрат: \(x + 1 = 9;\)
Получаем: \(x = 9 — 1 = 8;\)
Ответ: \(8.\)
6) \(x^2 — x + 9 + \sqrt{x^2 — x + 9} = 12;\)
Преобразуем уравнение: \(\sqrt{x^2 — x + 9} + \sqrt{x^2 — x + 9} — 12 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt{x^2 — x + 9},\) тогда:
Уравнение: \(y^2 + y — 12 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4\) и \(y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = -4,\) подставляем: \(\sqrt{x^2 — x + 9} = -4;\) это решение не подходит, так как квадратный корень не может быть отрицательным.
Для \(y_2 = 3,\) подставляем: \(\sqrt{x^2 — x + 9} = 3;\)
Возводим обе стороны в квадрат: \(x^2 — x + 9 = 9;\)
Получаем: \(x^2 — x = 0;\)
Решаем: \(x(x — 1) = 0;\)
Таким образом, \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1;\)
Ответ: \(0; 1.\)
7) \(\sqrt[3]{x^2 — 4x + 4} — 2\sqrt[3]{x — 2} — 3 = 0;\)
\(\sqrt[3]{(x — 2)^2} — 2\sqrt[3]{x — 2} — 3 = 0;\)
Пусть \(y = \sqrt[3]{x — 2},\) тогда:
Уравнение: \(y^2 — 2y — 3 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1\) и \(y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;\)
Первое значение:
\(\sqrt[3]{x — 2} = -1;\)
Подставляем: \(x — 2 = -1;\)
Решение: \(x = 2 — 1 = 1;\)
Второе значение:
\(\sqrt[3]{x — 2} = 3;\)
Подставляем: \(x — 2 = 27;\)
Решение: \(x = 27 + 2 = 29;\)
Ответ: \(1; 29.\)
8) \(\frac{1}{\sqrt[4]{x — 1}} + \frac{3}{\sqrt[4]{x + 1}} = 2;\)
Пусть \(y = \sqrt[4]{x},\) тогда:
\(\frac{1}{y — 1} + \frac{3}{y + 1} = 2;\)
Умножаем обе стороны на \((y — 1)(y + 1):\)
\((y + 1) + 3(y — 1) = 2(y — 1)(y + 1);\)
Раскрываем и упрощаем: \(y + 1 + 3y — 3 = 2y^2 — 2;\)
Получаем: \(4y — 2 = 2y^2 — 2;\)
Преобразуем: \(2y^2 — 4y = 0;\)
Решаем: \(2y(y — 2) = 0;\)
Корни: \(y_1 = 0\) и \(y_2 = 2;\)
Возвращаем замену:
Для \(y_1 = 0,\) подставляем: \(x_1 = 0^4 = 0;\)
Для \(y_2 = 2,\) подставляем: \(x_2 = 2^4 = 16;\)
Ответ: \(0; 16.\)
9) \(\frac{x + 5}{x — 1} + 7 = 8;\)
Пусть \(y = \frac{x + 5}{x — 1},\) тогда:
Уравнение: \(y + 7 = 8y;\)
После упрощения: \(y^2 — 8y + 7 = 0;\)
Дискриминант: \(D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 64 + 28 = 36,\) тогда:
Корни уравнения: \(y_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1\) и \(y_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7;\)
Первое значение:
\(\frac{x + 5}{x — 1} = 1;\)
Решение: \(x + 5 = x — 1;\)
Получаем: \(x = -6;\) это решение не подходит, так как квадратный корень не может быть отрицательным.
Второе значение:
\(\frac{x + 5}{x — 1} = 7;\)
Решение: \(x + 5 = 49(x — 1);\)
Раскрываем скобки: \(x + 5 = 49x — 49;\)
Получаем: \(48x = 54;\)
Решение: \(x = \frac{54}{48} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8};\)
Ответ: \(1 \frac{1}{8}.\)
10) \( \frac{x^3\sqrt{x — 1}}{ \sqrt[3]{x^2 — 1}} — \frac{\sqrt[3]{x^2 — 1}}{\sqrt[3]{x + 1}} = 4;\)
Пусть \( y = \sqrt[3]{x}, \) тогда:
\( \frac{y^3 \cdot y — 1}{y^2 — 1} — \frac{y^2 — 1}{y + 1} = 4; \)
Упростим выражение:
\( (y^2 — 1)(y^2 + 1) — (y — 1)(y + 1) = 4; \)
После раскрытия скобок:
\( y^2 — y — 2 = 0;\)
Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -1, \) подставляем: \( x_1 = (-1)^3 = -1; \)
Для \( y_2 = 2, \) подставляем: \( x_2 = 2^3 = 8; \)
Ответ: \( 8. \)
