Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( x — \sqrt{x} — 12 = 0; \)
2) \( \sqrt[3]{x^2} + 8 = 9\sqrt[3]{x}; \)
3) \( \sqrt{x} — \frac{2}{\sqrt{x}} = 1; \)
4) \( \sqrt{x + 5} — 3 \sqrt[4]{x + 5} + 2 = 0; \)
5) \( \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x + 3}} = 1; \)
6) \( \sqrt[3]{9 — 6x + x^2} + 2\sqrt[3]{3 — x} — 8 = 0; \)
7) \( x^2 — x + 4 + \sqrt{x^2 — x + 4} = 6; \)
8) \( \frac{\sqrt{3x + 2}}{2x — 3} + \frac{\sqrt{3x — 2}}{2x + 3} = 2.5; \)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( x — \sqrt{x} — 12 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x}, \) тогда:
\( y^2 — y — 12 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -\frac{8}{2} = -4; \)
и \( y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -4, \) подставляем: \( x_1 = (-4)^2 = 16; \)
Ответ: \( 16. \)
2) \( \sqrt[3]{x^2} + 8 = 9 \sqrt[3]{x}; \)
Пусть \( y = \sqrt[3]{x}, \) тогда:
\( y^2 — 9y + 8 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 81 + 32 = 113, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = 1, \) подставляем: \( x_1 = 1^3 = 1; \)
Для \( y_2 = 8, \) подставляем: \( x_2 = 8^3 = 512; \)
Ответ: \( 1; 512. \)
3) \( \sqrt{x} — \frac{2}{\sqrt{x}} = 1; \)
Пусть \( y = \sqrt{x}, \) тогда:
\( y — 2 = 1 / y; \)
\( y^2 — y — 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -1, \) подставляем: \( x_1 = (-1)^2 = 4; \)
Ответ: \( 4. \)
4) \( \sqrt{x + 5} — 3 \sqrt[4]{x + 5} + 2 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt[4]{x + 5}, \) тогда:
\( y^2 — 3y + 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)
Первое значение:
\( \sqrt[4]{x + 5} = 1; \)
Решение: \( x + 5 = 1 \);
Получаем: \( x = 1 — 5 = -4; \)
Второе значение:
\( \sqrt[4]{x + 5} = 2; \)
Решение: \( x + 5 = 16; \)
Получаем: \( x = 16 — 5 = 11; \)
Ответ: \( -4; 11. \)
5) \( \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x + 3}} = 1; \)
Пусть \( y = \sqrt[3]{x}, \) тогда:
\( \frac{1}{y + 1} + \frac{2}{y + 3} = 1 \cdot (y + 1)(y + 3); \)
\( (y + 3) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 3); \)
\( y + 3 + 2y + 2 = y^2 + 3y + y + 3; \)
\( y^2 + y — 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \) и \( y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -2, \) подставляем: \( x_1 = (-2)^3 = -8; \)
Для \( y_2 = 1, \) подставляем: \( x_2 = 1^3 = 1; \)
Ответ: \(-8; 1.\)
6) \( \sqrt{9 — 6x + x^2} + 2\sqrt{3 — x} — 8 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{3 — x}, \) тогда:
\( y^2 + 2y — 8 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \) и \( y_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -4, \) подставляем: \( 3 — x = 64; \)
Решение: \( x = 3 — 64 = -61; \)
Ответ: \( -61. \)
7) \( x^2 — x + 4 + \sqrt{x^2 — x + 4} = 6; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — x + 4}, \) тогда:
\( y^2 + y — 6 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \) и \( y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -3, \) подставляем: \( x^2 — x + 4 = 2; \)
Получаем: \( x^2 — x = 0; \)
Решение: \( x(x — 1) = 0; \)
Таким образом, \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1; \)
Ответ: \( 0; 1. \)
8) \( \sqrt{\frac{3x + 2}{2x — 3}} + \sqrt{\frac{2x — 3}{3x + 2}} = 2.5; \)
Пусть \( y = \frac{3x + 2}{2x — 3}, \) тогда:
\( y + \frac{1}{y} = 2y; \)
\( 2y^2 + 2y = 5y; \)
\( 2y^2 — 5y + 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4; \)
Возвращаем замену:
Первое значение:
\( \sqrt{\frac{3x + 2}{2x — 3}} = 1; \)
Решение: \( 3x + 2 = 2x — 3; \)
Получаем: \( 4(3x + 2) = 2x — 3; \)
Решаем: \( 12x + 8 = 2x — 3; \)
Получаем: \( 10x = -11; \)
Решение: \( x = -\frac{11}{10} = -1.1; \)
Второе значение:
\( \sqrt{\frac{3x + 2}{2x — 3}} = 2; \)
Решение: \( 3x + 2 = 4(2x — 3); \)
Получаем: \( 3x + 2 = 8x — 12; \)
Решаем: \( 5x = 14; \)
Решение: \( x = \frac{14}{5} = 2.8; \)
Ответ: \( -1.1; 2.8. \)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( x — \sqrt{x} — 12 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x}, \) тогда:
Тогда у нас получается уравнение: \( y^2 — y — 12 = 0; \)
Для решения этого уравнения, нам необходимо найти дискриминант. Дискриминант вычисляется по формуле: \( D = b^2 — 4ac, \) где \( a = 1, b = -1, c = -12. \) Подставим значения в формулу:
Дискриминант: \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49, \) тогда:
Корни уравнения можно найти с использованием формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \( y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \) и \( y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \). Подставим значения:
\( y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -\frac{8}{2} = -4; \)
и \( y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3; \)
Теперь возвращаем замену. Для каждого найденного значения \( y \), подставим в уравнение для \( x \):
Для \( y_1 = -4, \) подставляем: \( x_1 = (-4)^2 = 16; \)
Ответ: \( x = 16. \)
2) \( \sqrt[3]{x^2} + 8 = 9 \sqrt[3]{x}; \)
Пусть \( y = \sqrt[3]{x}, \) тогда:
Тогда у нас получается уравнение: \( y^2 — 9y + 8 = 0; \)
Для решения этого уравнения, нам также нужно вычислить дискриминант. Подставим значения в формулу для дискриминанта:
Дискриминант: \( D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 81 + 32 = 113, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8; \)
Теперь возвращаем замену:
Для \( y_1 = 1, \) подставляем: \( x_1 = 1^3 = 1; \)
Для \( y_2 = 8, \) подставляем: \( x_2 = 8^3 = 512; \)
Ответ: \( 1; 512. \)
3) \( \sqrt{x} — \frac{2}{\sqrt{x}} = 1; \)
Пусть \( y = \sqrt{x}, \) тогда:
Теперь у нас уравнение принимает вид: \( y — 2 = \frac{1}{y}; \)
Умножаем обе стороны на \( y \), чтобы избавиться от дроби:
Получаем: \( y^2 — y — 2 = 0; \)
Для решения этого уравнения, вычислим дискриминант:
Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -1, \) подставляем: \( x_1 = (-1)^2 = 4; \)
Ответ: \( x = 4. \)
4) \( \sqrt{x + 5} — 3 \sqrt[4]{x + 5} + 2 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt[4]{x + 5}, \) тогда:
Теперь у нас уравнение принимает вид: \( y^2 — 3y + 2 = 0; \)
Вычисляем дискриминант:
Дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)
Первое значение:
\( \sqrt[4]{x + 5} = 1; \)
Решение: \( x + 5 = 1; \)
Получаем: \( x = 1 — 5 = -4; \)
Второе значение:
\( \sqrt[4]{x + 5} = 2; \)
Решение: \( x + 5 = 16; \)
Получаем: \( x = 16 — 5 = 11; \)
Ответ: \( -4; 11. \)
5) \( \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x + 3}} = 1; \)
Пусть \( y = \sqrt[3]{x}, \) тогда:
Теперь у нас уравнение принимает вид: \( \frac{1}{y + 1} + \frac{2}{y + 3} = 1 \cdot (y + 1)(y + 3); \)
Приводим к общему знаменателю: \( (y + 3) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 3); \)
Раскрываем скобки: \( y + 3 + 2y + 2 = y^2 + 3y + y + 3; \)
Упрощаем: \( y^2 + y — 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \) и \( y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -2, \) подставляем: \( x_1 = (-2)^3 = -8; \)
Для \( y_2 = 1, \) подставляем: \( x_2 = 1^3 = 1; \)
Ответ: \(-8; 1.\)
6) \( \sqrt{9 — 6x + x^2} + 2\sqrt{3 — x} — 8 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{3 — x}, \) тогда:
\( y^2 + 2y — 8 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \) и \( y_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -4, \) подставляем: \( 3 — x = 64; \)
Решение: \( x = 3 — 64 = -61; \)
Ответ: \( -61. \)
7) \( x^2 — x + 4 + \sqrt{x^2 — x + 4} = 6; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — x + 4}, \) тогда:
\( y^2 + y — 6 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \) и \( y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2; \)
Возвращаем замену:
Для \( y_1 = -3, \) подставляем: \( x^2 — x + 4 = 2; \)
Получаем: \( x^2 — x = 0; \)
Решение: \( x(x — 1) = 0; \)
Таким образом, \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1; \)
Ответ: \( 0; 1. \)
8) \( \sqrt{\frac{3x + 2}{2x — 3}} + \sqrt{\frac{2x — 3}{3x + 2}} = 2.5; \)
Пусть \( y = \frac{3x + 2}{2x — 3}, \) тогда:
\( y + \frac{1}{y} = 2y; \)
\( 2y^2 + 2y = 5y; \)
\( 2y^2 — 5y + 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \) тогда:
Корни уравнения: \( y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4; \)
Возвращаем замену:
Первое значение:
\( \sqrt{\frac{3x + 2}{2x — 3}} = 1; \)
Решение: \( 3x + 2 = 2x — 3; \)
Получаем: \( 4(3x + 2) = 2x — 3; \)
Решаем: \( 12x + 8 = 2x — 3; \)
Получаем: \( 10x = -11; \)
Решение: \( x = -\frac{11}{10} = -1.1; \)
Второе значение:
\( \sqrt{\frac{3x + 2}{2x — 3}} = 2; \)
Решение: \( 3x + 2 = 4(2x — 3); \)
Получаем: \( 3x + 2 = 8x — 12; \)
Решаем: \( 5x = 14; \)
Решение: \( x = \frac{14}{5} = 2.8; \)
Ответ: \( -1.1; 2.8. \)
