Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{22 — x} — \sqrt{10 — x} = 2; \)
2) \( \sqrt{x + 2} — \sqrt{2x — 3} = 1; \)
3) \( \sqrt{2x + 3} — \sqrt{x + 1} = 1; \)
4) \( 2 \sqrt{2 — x} — \sqrt{7 — x} = 1. \)
Решить уравнение:
1) \( \sqrt{22 — x} — \sqrt{10 — x} = 2; \)
\[(22 — x) — 2 \sqrt{(22 — x)(10 — x)} + (10 — x) = 4;\]
\[-2 \sqrt{220} — 22x — 10x + x^2 = 2x — 38;\]
\[\sqrt{220} — 32x + x^2 = 14 — x;\]
\[220 — 32x + x^2 = 196 — 28x + x^2;\]
\[4x = 24;\]
\[x = \frac{24}{4} = 6;\]
Выполним проверку:
\[\sqrt{22 — 6} — \sqrt{10 — 6} = 4 — 2 = 2;\]
Ответ: 6.
2) \( \sqrt{x + 2} — \sqrt{2x — 3} = 1; \)
\[(x + 2) — 2 \sqrt{(x + 2)(2x — 3)} + (2x — 3) = 1;\]
\[-2 \sqrt{2x^2} — 3x + 4x — 6 = 2 — 3x;\]
\[4(2x^2 + x — 6) = (2 — 3x)^2;\]
\[8x^2 + 4x — 24 = 4 — 12x + 9x^2;\]
\[x^2 — 16x + 28 = 0;\]
\[D = 16^2 — 4 \cdot 28 = 256 — 112 = 144, \text{ тогда:}\]
\[x_1 = \frac{16 — 12}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{16 + 12}{2} = 14;\]
Выполним проверку:
\[\sqrt{2 + 2} — \sqrt{2 \cdot 2 — 3} — 1 = 2 — 1 — 1 = 0;\]
\[\sqrt{14 + 2} — \sqrt{2 \cdot 14 — 3} — 1 = 4 — 5 — 1 = -2;\]
Ответ: 2.
3) \( \sqrt{2x + 3} — \sqrt{x + 1} = 1; \)
\[(2x + 3) — 2 \sqrt{(2x + 3)(x + 1)} + (x + 1) = 1;\]
\[-2 \sqrt{2x^2} + 2x + 3x + 3 = -3 — 3x;\]
\[2 \sqrt{2x^2} + 5x + 3 = 3x + 3;\]
\[4(2x^2 + 5x + 3) = (3x + 3)^2;\]
\[8x^2 + 20x + 12 = 9x^2 + 18x + 9;\]
\[x^2 — 2x — 3 = 0;\]
\[D = 2^2 — 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}\]
\[x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;\]
Выполним проверку:
\[\sqrt{2 \cdot (-1) + 3} — \sqrt{-1 + 1} — 1 = 1 — 0 — 1 = 0;\]
\[\sqrt{2 \cdot 3 + 3} — \sqrt{3 + 1} — 1 = 3 — 2 — 1 = 0;\]
Ответ: -1; 3.
4) \( 2 \sqrt{2 — x} — \sqrt{7 — x} = 1; \)
\[4(2 — x) — 4 \sqrt{(2 — x)(7 — x)} + (7 — x) = 1;\]
\[-4 \sqrt{14 — 2x — 7x + x^2} = 5x — 14;\]
\[16(x^2 — 9x + 14) = (5x — 14)^2;\]
\[16x^2 — 144x + 224 = 25x^2 — 140x + 196;\]
\[9x^2 + 4x — 28 = 0;\]
\[D = 4^2 + 4 \cdot 9 \cdot 28 = 16 + 1008 = 1024, \text{ тогда:}\]
\[x_1 = \frac{-4 — 32}{2 \cdot 9} = \frac{-36}{18} = -2;\]
\[x_2 = \frac{-4 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9};\]
Выполним проверку:
\[2 \sqrt{2 — (-2)} — \sqrt{7 — (-2)} — 1 = 2 \cdot 2 — 3 — 1 = 0;\]
Ответ: -2.
Решение уравнений
1) \( \sqrt{22 — x} — \sqrt{10 — x} = 2; \)
Рассмотрим первое уравнение: \( \sqrt{22 — x} — \sqrt{10 — x} = 2 \). Для начала перенесем один из корней на правую сторону уравнения:
\( \sqrt{22 — x} = \sqrt{10 — x} + 2 \)
Далее, чтобы избавиться от корней, возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\( (\sqrt{22 — x})^2 = (\sqrt{10 — x} + 2)^2 \)
Раскрываем квадрат правой части уравнения:
\( 22 — x = (10 — x) + 4 \sqrt{(10 — x)} + 4 \)
Преобразуем и упрощаем выражение:
\( 22 — x = 10 — x + 4 \sqrt{(10 — x)} + 4 \)
Теперь, переносим все элементы на одну сторону и упрощаем их:
\( 22 — x — 10 + x — 4 = 4 \sqrt{(10 — x)} \)
Упрощаем:
\( 8 = 4 \sqrt{(10 — x)} \)
Теперь разделим обе стороны на 4:
\( 2 = \sqrt{(10 — x)} \)
Возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\( 4 = 10 — x \)
Теперь переносим \( x \) на одну сторону и находим его значение:
\( x = 6 \)
Таким образом, решение первого уравнения: \( x = 6 \).
2) \( \sqrt{x + 2} — \sqrt{2x — 3} = 1; \)
Теперь рассмотрим второе уравнение: \( \sqrt{x + 2} — \sqrt{2x — 3} = 1 \). Для начала перенесем второй корень на правую сторону:
\( \sqrt{x + 2} = \sqrt{2x — 3} + 1 \)
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
\( (\sqrt{x + 2})^2 = (\sqrt{2x — 3} + 1)^2 \)
После раскрытия квадрата получаем:
\( x + 2 = (2x — 3) + 2 \sqrt{(2x — 3)(x + 2)} + 1 \)
Преобразуем правую часть:
\( x + 2 = 2x — 3 + 2 \sqrt{(2x — 3)(x + 2)} + 1 \)
Теперь переносим все элементы на одну сторону:
\( x + 2 — 2x + 3 — 1 = 2 \sqrt{(2x — 3)(x + 2)} \)
Упрощаем:
\( -x + 4 = 2 \sqrt{(2x — 3)(x + 2)} \)
Теперь поделим обе стороны на 2:
\( \frac{-x + 4}{2} = \sqrt{(2x — 3)(x + 2)} \)
Возводим обе части уравнения в квадрат:
\( \left(\frac{-x + 4}{2}\right)^2 = (2x — 3)(x + 2) \)
Теперь раскрываем квадрат и решаем полученное уравнение, в итоге находим:
\( x = 2 \)
Ответ для второго уравнения: \( x = 2 \).
3) \( \sqrt{2x + 3} — \sqrt{x + 1} = 1; \)
Рассмотрим третье уравнение: \( \sqrt{2x + 3} — \sqrt{x + 1} = 1 \). Для начала возводим обе части уравнения в квадрат:
\( (\sqrt{2x + 3})^2 = (\sqrt{x + 1} + 1)^2 \)
Раскрываем квадрат правой части:
\( 2x + 3 = (x + 1) + 2 \sqrt{(x + 1)(2x + 3)} + 1 \)
Упрощаем уравнение:
\( 2x + 3 = x + 2 + 2 \sqrt{(x + 1)(2x + 3)} \)
Переносим все элементы на одну сторону:
\( 2x + 3 — x — 2 = 2 \sqrt{(x + 1)(2x + 3)} \)
Упрощаем:
\( x + 1 = 2 \sqrt{(x + 1)(2x + 3)} \)
Делим обе части уравнения на 2:
\( \frac{x + 1}{2} = \sqrt{(x + 1)(2x + 3)} \)
Возводим обе части в квадрат:
\( \left(\frac{x + 1}{2}\right)^2 = (x + 1)(2x + 3) \)
Раскрываем скобки и решаем полученное уравнение:
\( x = -1; 3 \)
Ответ для третьего уравнения: \( x = 3 \).
4) \( 2 \sqrt{2 — x} — \sqrt{7 — x} = 1; \)
Рассмотрим последнее уравнение: \( 2 \sqrt{2 — x} — \sqrt{7 — x} = 1 \). Переносим второй корень в правую сторону и возводим обе части уравнения в квадрат:
\( 4(2 — x) — 4 \sqrt{(2 — x)(7 — x)} + (7 — x) = 1 \)
Теперь упрощаем:
\( 8 — 4x — 4 \sqrt{(2 — x)(7 — x)} + 7 — x = 1 \)
Переносим все элементы на одну сторону:
\( 15 — 5x — 4 \sqrt{(2 — x)(7 — x)} = 1 \)
Теперь решаем уравнение для корней и получаем:
\( x = -2 \)
Ответ для четвертого уравнения: \( x = -2 \).
Ответ:
Для первого уравнения: \( x = 6 \)
Для второго уравнения: \( x = 2 \)
Для третьего уравнения: \( x = -1; 3 \)
Для четвертого уравнения: \( x = -2 \)
