ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( \sqrt{2x + 5} — \sqrt{3x — 5} = 2; \)

2) \( \sqrt{3x + 1} — \sqrt{x + 1} = 2. \)

Решите уравнение:

1) \( \sqrt{2x + 5} — \sqrt{3x — 5} = 2; \)

\[
(2x + 5) — 2 \sqrt{(2x + 5)(3x — 5)} + (3x — 5) = 4;
\]

\[
-2 \sqrt{6x^2 — 10x + 15x — 25} = 4 — 5x;
\]

\[
4(6x^2 + 5x — 25) = (4 — 5x)^2;
\]

\[
24x^2 + 20x — 100 = 16 — 40x + 25x^2;
\]

\[
x^2 — 60x + 116 = 0;
\]

\[
D = 60^2 — 4 \cdot 116 = 3600 — 464 = 3136, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{60 — 56}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{60 + 56}{2} = 58;
\]

Выполним проверку:

\[
\sqrt{2 \cdot 2 + 5} — \sqrt{3 \cdot 2 — 5} = 3 — 2 = 1;
\]

\[
\sqrt{2 \cdot 58 + 5} — \sqrt{3 \cdot 58 — 5} = 11 — 13 = -2;
\]

Ответ: 2.

Решите уравнение:

2) \( \sqrt{3x + 1} — \sqrt{x + 1} = 2; \)

\[
(3x + 1) — 2 \sqrt{(3x + 1)(x + 1)} + (x + 1) = 4;
\]

\[
-2 \sqrt{3x^2 + 3x + x + 1} = 2 — 4x;
\]

\[
\sqrt{3x^2 + 4x + 1} = 2x — 1;
\]

\[
3x^2 + 4x + 1 = 4x^2 — 4x + 1;
\]

\[
x^2 — 8x = 0;
\]

\[
x(x — 8) = 0;
\]

\[
x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 8;
\]

Выполним проверку:

\[
\sqrt{3 \cdot 0 + 1} — \sqrt{0 + 1} = 1 — 1 = 0;
\]

\[
\sqrt{3 \cdot 8 + 1} — \sqrt{8 + 1} = 5 — 3 = 2;
\]

Ответ: 8.

Решите уравнение:

1) \( \sqrt{2x + 5} — \sqrt{3x — 5} = 2; \)

Начнём с первого уравнения \( \sqrt{2x + 5} — \sqrt{3x — 5} = 2 \). Переносим один из корней на правую сторону:

\( \sqrt{2x + 5} = \sqrt{3x — 5} + 2 \)

Теперь возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\( (\sqrt{2x + 5})^2 = (\sqrt{3x — 5} + 2)^2 \)

Раскрываем квадрат правой части уравнения:

\( 2x + 5 = (3x — 5) + 4 \sqrt{(3x — 5)} + 4 \)

Теперь переносим все элементы на одну сторону:

\( 2x + 5 — 3x + 5 — 4 = 4 \sqrt{(3x — 5)} \)

Упрощаем выражение:

\( -x + 6 = 4 \sqrt{(3x — 5)} \)

Теперь поделим обе части на 4:

\( \frac{-x + 6}{4} = \sqrt{(3x — 5)} \)

Возводим обе стороны в квадрат:

\( \left(\frac{-x + 6}{4}\right)^2 = (3x — 5) \)

Теперь раскрываем квадрат и решаем полученное уравнение:

\( 24x^2 + 20x — 100 = 16 — 40x + 25x^2 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 60x + 116 = 0 \)

Теперь находим дискриминант:

\( D = 60^2 — 4 \cdot 116 = 3600 — 464 = 3136 \), \text{ тогда:}

\( x_1 = \frac{60 — 56}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{60 + 56}{2} = 58 \)

Таким образом, решение первого уравнения: \( x = 2 \).

Проверка:

Теперь проверим полученные значения для \( x \):

\( \sqrt{2 \cdot 2 + 5} — \sqrt{3 \cdot 2 — 5} = 3 — 2 = 1 \)

\( \sqrt{2 \cdot 58 + 5} — \sqrt{3 \cdot 58 — 5} = 11 — 13 = -2 \)

Ответ: 2.

2) \( \sqrt{3x + 1} — \sqrt{x + 1} = 2; \)

Теперь рассмотрим второе уравнение \( \sqrt{3x + 1} — \sqrt{x + 1} = 2 \). Переносим второй корень на правую сторону:

\( \sqrt{3x + 1} = \sqrt{x + 1} + 2 \)

Теперь возводим обе части в квадрат:

\( (\sqrt{3x + 1})^2 = (\sqrt{x + 1} + 2)^2 \)

Раскрываем квадрат правой части уравнения:

\( 3x + 1 = (x + 1) + 4 \sqrt{(x + 1)} + 4 \)

Теперь переносим все элементы на одну сторону:

\( 3x + 1 — x — 1 — 4 = 4 \sqrt{(x + 1)} \)

Упрощаем:

\( 2x — 4 = 4 \sqrt{(x + 1)} \)

Теперь делим обе части на 4:

\( \frac{2x — 4}{4} = \sqrt{(x + 1)} \)

Возводим обе части в квадрат:

\( \left(\frac{2x — 4}{4}\right)^2 = (x + 1) \)

Теперь раскрываем квадрат и решаем полученное уравнение:

\( x^2 — 8x = 0 \)

Преобразуем уравнение:

\( x(x — 8) = 0 \)

Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = 8 \).

Проверка:

Теперь проверим полученные значения для \( x \):

\( \sqrt{3 \cdot 0 + 1} — \sqrt{0 + 1} = 1 — 1 = 0 \)

\( \sqrt{3 \cdot 8 + 1} — \sqrt{8 + 1} = 5 — 3 = 2 \)

Ответ: 8.