Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x + 5} — \sqrt{3x — 5} = 2; \)
2) \( \sqrt{3x + 1} — \sqrt{x + 1} = 2. \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x + 5} — \sqrt{3x — 5} = 2; \)
\[
(2x + 5) — 2 \sqrt{(2x + 5)(3x — 5)} + (3x — 5) = 4;
\]
\[
-2 \sqrt{6x^2 — 10x + 15x — 25} = 4 — 5x;
\]
\[
4(6x^2 + 5x — 25) = (4 — 5x)^2;
\]
\[
24x^2 + 20x — 100 = 16 — 40x + 25x^2;
\]
\[
x^2 — 60x + 116 = 0;
\]
\[
D = 60^2 — 4 \cdot 116 = 3600 — 464 = 3136, \text{ тогда:}
\]
\[
x_1 = \frac{60 — 56}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{60 + 56}{2} = 58;
\]
Выполним проверку:
\[
\sqrt{2 \cdot 2 + 5} — \sqrt{3 \cdot 2 — 5} = 3 — 2 = 1;
\]
\[
\sqrt{2 \cdot 58 + 5} — \sqrt{3 \cdot 58 — 5} = 11 — 13 = -2;
\]
Ответ: 2.
Решите уравнение:
2) \( \sqrt{3x + 1} — \sqrt{x + 1} = 2; \)
\[
(3x + 1) — 2 \sqrt{(3x + 1)(x + 1)} + (x + 1) = 4;
\]
\[
-2 \sqrt{3x^2 + 3x + x + 1} = 2 — 4x;
\]
\[
\sqrt{3x^2 + 4x + 1} = 2x — 1;
\]
\[
3x^2 + 4x + 1 = 4x^2 — 4x + 1;
\]
\[
x^2 — 8x = 0;
\]
\[
x(x — 8) = 0;
\]
\[
x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 8;
\]
Выполним проверку:
\[
\sqrt{3 \cdot 0 + 1} — \sqrt{0 + 1} = 1 — 1 = 0;
\]
\[
\sqrt{3 \cdot 8 + 1} — \sqrt{8 + 1} = 5 — 3 = 2;
\]
Ответ: 8.
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x + 5} — \sqrt{3x — 5} = 2; \)
Начнём с первого уравнения \( \sqrt{2x + 5} — \sqrt{3x — 5} = 2 \). Переносим один из корней на правую сторону:
\( \sqrt{2x + 5} = \sqrt{3x — 5} + 2 \)
Теперь возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\( (\sqrt{2x + 5})^2 = (\sqrt{3x — 5} + 2)^2 \)
Раскрываем квадрат правой части уравнения:
\( 2x + 5 = (3x — 5) + 4 \sqrt{(3x — 5)} + 4 \)
Теперь переносим все элементы на одну сторону:
\( 2x + 5 — 3x + 5 — 4 = 4 \sqrt{(3x — 5)} \)
Упрощаем выражение:
\( -x + 6 = 4 \sqrt{(3x — 5)} \)
Теперь поделим обе части на 4:
\( \frac{-x + 6}{4} = \sqrt{(3x — 5)} \)
Возводим обе стороны в квадрат:
\( \left(\frac{-x + 6}{4}\right)^2 = (3x — 5) \)
Теперь раскрываем квадрат и решаем полученное уравнение:
\( 24x^2 + 20x — 100 = 16 — 40x + 25x^2 \)
Упрощаем:
\( x^2 — 60x + 116 = 0 \)
Теперь находим дискриминант:
\( D = 60^2 — 4 \cdot 116 = 3600 — 464 = 3136 \), \text{ тогда:}
\( x_1 = \frac{60 — 56}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{60 + 56}{2} = 58 \)
Таким образом, решение первого уравнения: \( x = 2 \).
Проверка:
Теперь проверим полученные значения для \( x \):
\( \sqrt{2 \cdot 2 + 5} — \sqrt{3 \cdot 2 — 5} = 3 — 2 = 1 \)
\( \sqrt{2 \cdot 58 + 5} — \sqrt{3 \cdot 58 — 5} = 11 — 13 = -2 \)
Ответ: 2.
2) \( \sqrt{3x + 1} — \sqrt{x + 1} = 2; \)
Теперь рассмотрим второе уравнение \( \sqrt{3x + 1} — \sqrt{x + 1} = 2 \). Переносим второй корень на правую сторону:
\( \sqrt{3x + 1} = \sqrt{x + 1} + 2 \)
Теперь возводим обе части в квадрат:
\( (\sqrt{3x + 1})^2 = (\sqrt{x + 1} + 2)^2 \)
Раскрываем квадрат правой части уравнения:
\( 3x + 1 = (x + 1) + 4 \sqrt{(x + 1)} + 4 \)
Теперь переносим все элементы на одну сторону:
\( 3x + 1 — x — 1 — 4 = 4 \sqrt{(x + 1)} \)
Упрощаем:
\( 2x — 4 = 4 \sqrt{(x + 1)} \)
Теперь делим обе части на 4:
\( \frac{2x — 4}{4} = \sqrt{(x + 1)} \)
Возводим обе части в квадрат:
\( \left(\frac{2x — 4}{4}\right)^2 = (x + 1) \)
Теперь раскрываем квадрат и решаем полученное уравнение:
\( x^2 — 8x = 0 \)
Преобразуем уравнение:
\( x(x — 8) = 0 \)
Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = 8 \).
Проверка:
Теперь проверим полученные значения для \( x \):
\( \sqrt{3 \cdot 0 + 1} — \sqrt{0 + 1} = 1 — 1 = 0 \)
\( \sqrt{3 \cdot 8 + 1} — \sqrt{8 + 1} = 5 — 3 = 2 \)
Ответ: 8.
