ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( \sqrt{x — 5} + \sqrt{10 — x} = 3; \)
3) \( \sqrt{1 — x} + \sqrt{1 + x} = 1; \)
2) \( \sqrt{x — 7} + \sqrt{x — 1} = 4; \)
4) \( \sqrt{13 — 4x} + \sqrt{x + 3} = 5. \)

Решите уравнение:

1) \( \sqrt{x — 5} + \sqrt{10 — x} = 3; \)

\[
(x — 5) + 2 \sqrt{(x — 5)(10 — x)} + (10 — x) = 9;
\]

\[
2 \sqrt{10x — x^2 — 50 + 5x} = 4;
\]

\[
\sqrt{15x — x^2 — 50} = 2;
\]

\[
15x — x^2 — 50 = 4;
\]

\[
x^2 — 15x + 54 = 0;
\]

\[
D = 15^2 — 4 \cdot 54 = 225 — 216 = 9, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{15 — 3}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{15 + 3}{2} = 9;
\]

Выполним проверку:

\[
\sqrt{6 — 5} + \sqrt{10 — 6} — 3 = 1 + 2 — 3 = 0;
\]

\[
\sqrt{9 — 5} + \sqrt{10 — 9} — 3 = 2 + 1 — 3 = 0;
\]

Ответ: 6; 9.

Решите уравнение:

2) \( \sqrt{x — 7} + \sqrt{x — 1} = 4; \)

\[
(x — 7) + 2 \sqrt{(x — 7)(x — 1)} + (x — 1) = 16;
\]

\[
2 \sqrt{x^2 — x — 7x + 7} = 24 — 2x;
\]

\[
\sqrt{x^2 — 8x + 7} = 12 — x;
\]

\[
x^2 — 8x + 144 — 24x + x^2 = 137;
\]

\[
137 = \frac{137}{16};
\]

\[
x = \frac{137}{16} = 8 \frac{9}{16};
\]

Выполним проверку:

\[
\sqrt{\frac{137}{16} — 7} + \frac{137}{16} — 1 — 4 + \frac{5}{4} + \frac{11}{4} — 4 = 0;
\]

Ответ: \( 8 \frac{9}{16} \).

3) \( \sqrt{1 — x} + \sqrt{1 + x} = 1; \)

\[
(1 — x) + 2 \sqrt{(1 — x)(1 + x)} + (1 + x) = 1;
\]

\[
2 \sqrt{1 — x^2} = -1;
\]

\[
\sqrt{1 — x^2} = -0.5;
\]

Ответ: Корней нет.

Решите уравнение:

4) \( \sqrt{13 — 4x} + \sqrt{x + 3} = 5; \)

\[
(13 — 4x) + 2 \sqrt{(13 — 4x)(x + 3)} + (x + 3) = 25;
\]

\[
2 \sqrt{13x + 39 — 4x^2 — 12x} = 9 + 3x;
\]

\[
4(x + 39 — 4x^2) = (9 + 3x)^2;
\]

\[
4x + 156 — 16x^2 = 81 + 54x + 9x^2;
\]

\[
25x^2 + 50x — 75 = 0 \quad | : 25;
\]

\[
x^2 + 2x — 3 = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\]

Выполним проверку:

\[
\sqrt{13 — 4 \cdot (-3)} + \sqrt{-3 + 3} = 5 + 0 — 5 = 0;
\]

\[
\sqrt{13 — 4 \cdot 1} + \sqrt{1 + 3} = 3 + 2 — 5 = 0;
\]

Ответ: -3; 1.

Решите уравнение:

1) \( \sqrt{x — 5} + \sqrt{10 — x} = 3; \)

Начнем с первого уравнения \( \sqrt{x — 5} + \sqrt{10 — x} = 3 \). Переносим один из корней на правую сторону уравнения:

\( \sqrt{x — 5} = 3 — \sqrt{10 — x} \)

Теперь возводим обе части в квадрат:

\( (\sqrt{x — 5})^2 = (3 — \sqrt{10 — x})^2 \)

Раскроем квадрат правой части уравнения:

\( x — 5 = (3 — \sqrt{10 — x})^2 \)

Приводим к общему виду:

\( x — 5 = 9 — 6 \sqrt{10 — x} + (10 — x) \)

Переносим все элементы на одну сторону:

\( x — 5 — 9 + x — 10 = — 6 \sqrt{10 — x} \)

Упрощаем:

\( 2x — 24 = -6 \sqrt{10 — x} \)

Теперь делим обе части на -6:

\( \frac{2x — 24}{-6} = \sqrt{10 — x} \)

Возводим обе части в квадрат:

\( \left(\frac{2x — 24}{-6}\right)^2 = (10 — x) \)

После раскрытия квадратов и упрощения, решаем полученное уравнение и получаем \( x = 6 \) и \( x = 9 \).

Проверка:

Проверим полученные значения для \( x \):

\( \sqrt{6 — 5} + \sqrt{10 — 6} = 1 + 2 = 3; \)

\( \sqrt{9 — 5} + \sqrt{10 — 9} = 2 + 1 = 3; \)

Ответ: \( x = 6 \), \( x = 9 \).

2) \( \sqrt{x — 7} + \sqrt{x — 1} = 4; \)

Для второго уравнения перенесем второй корень на правую сторону:

\( \sqrt{x — 7} = 4 — \sqrt{x — 1} \)

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

\( (\sqrt{x — 7})^2 = (4 — \sqrt{x — 1})^2 \)

После раскрытия квадратов, получаем:

\( x — 7 = 16 — 8 \sqrt{x — 1} + (x — 1) \)

Теперь переносим все элементы на одну сторону:

\( x — 7 — 16 + 1 — x = -8 \sqrt{x — 1} \)

Упрощаем:

\( -22 = -8 \sqrt{x — 1} \)

Теперь делим обе стороны на -8:

\( \frac{-22}{-8} = \sqrt{x — 1} \)

Возводим обе части в квадрат:

\( \left(\frac{22}{8}\right)^2 = x — 1 \)

Решаем и находим значение \( x = 8 \frac{9}{16} \).

Проверка:

Проверим для \( x = 8 \frac{9}{16} \):

\( \sqrt{\frac{137}{16} — 7} + \frac{137}{16} — 1 — 4 + \frac{5}{4} + \frac{11}{4} — 4 = 0; \)

Ответ: \( 8 \frac{9}{16} \).

3) \( \sqrt{1 — x} + \sqrt{1 + x} = 1; \)

Для третьего уравнения:

\( (1 — x) + 2 \sqrt{(1 — x)(1 + x)} + (1 + x) = 1 \)

Преобразуем уравнение:

\( 2 \sqrt{1 — x^2} = -1 \)

Так как квадратный корень не может быть отрицательным, мы можем заключить, что решения нет.

Ответ: Корней нет.

4) \( \sqrt{13 — 4x} + \sqrt{x + 3} = 5; \)

Для последнего уравнения:

\( (13 — 4x) + 2 \sqrt{(13 — 4x)(x + 3)} + (x + 3) = 25 \)

После преобразования получаем:

\( 2 \sqrt{13x + 39 — 4x^2 — 12x} = 9 + 3x \)

Решаем уравнение, раскрываем квадрат и упрощаем:

\( 25x^2 + 50x — 75 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( x^2 + 2x — 3 = 0 \)

Находим дискриминант и решения:

\( D = 16 \), тогда \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 1 \).

Проверка:

Для \( x = -3 \):

\( \sqrt{13 — 4 \cdot (-3)} + \sqrt{-3 + 3} = 5 + 0 — 5 = 0 \)

Для \( x = 1 \):

\( \sqrt{13 — 4 \cdot 1} + \sqrt{1 + 3} = 3 + 2 — 5 = 0 \)

Ответ: -3; 1.