Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x — 5} + \sqrt{10 — x} = 3; \)
3) \( \sqrt{1 — x} + \sqrt{1 + x} = 1; \)
2) \( \sqrt{x — 7} + \sqrt{x — 1} = 4; \)
4) \( \sqrt{13 — 4x} + \sqrt{x + 3} = 5. \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x — 5} + \sqrt{10 — x} = 3; \)
\[
(x — 5) + 2 \sqrt{(x — 5)(10 — x)} + (10 — x) = 9;
\]
\[
2 \sqrt{10x — x^2 — 50 + 5x} = 4;
\]
\[
\sqrt{15x — x^2 — 50} = 2;
\]
\[
15x — x^2 — 50 = 4;
\]
\[
x^2 — 15x + 54 = 0;
\]
\[
D = 15^2 — 4 \cdot 54 = 225 — 216 = 9, \text{ тогда:}
\]
\[
x_1 = \frac{15 — 3}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{15 + 3}{2} = 9;
\]
Выполним проверку:
\[
\sqrt{6 — 5} + \sqrt{10 — 6} — 3 = 1 + 2 — 3 = 0;
\]
\[
\sqrt{9 — 5} + \sqrt{10 — 9} — 3 = 2 + 1 — 3 = 0;
\]
Ответ: 6; 9.
Решите уравнение:
2) \( \sqrt{x — 7} + \sqrt{x — 1} = 4; \)
\[
(x — 7) + 2 \sqrt{(x — 7)(x — 1)} + (x — 1) = 16;
\]
\[
2 \sqrt{x^2 — x — 7x + 7} = 24 — 2x;
\]
\[
\sqrt{x^2 — 8x + 7} = 12 — x;
\]
\[
x^2 — 8x + 144 — 24x + x^2 = 137;
\]
\[
137 = \frac{137}{16};
\]
\[
x = \frac{137}{16} = 8 \frac{9}{16};
\]
Выполним проверку:
\[
\sqrt{\frac{137}{16} — 7} + \frac{137}{16} — 1 — 4 + \frac{5}{4} + \frac{11}{4} — 4 = 0;
\]
Ответ: \( 8 \frac{9}{16} \).
3) \( \sqrt{1 — x} + \sqrt{1 + x} = 1; \)
\[
(1 — x) + 2 \sqrt{(1 — x)(1 + x)} + (1 + x) = 1;
\]
\[
2 \sqrt{1 — x^2} = -1;
\]
\[
\sqrt{1 — x^2} = -0.5;
\]
Ответ: Корней нет.
Решите уравнение:
4) \( \sqrt{13 — 4x} + \sqrt{x + 3} = 5; \)
\[
(13 — 4x) + 2 \sqrt{(13 — 4x)(x + 3)} + (x + 3) = 25;
\]
\[
2 \sqrt{13x + 39 — 4x^2 — 12x} = 9 + 3x;
\]
\[
4(x + 39 — 4x^2) = (9 + 3x)^2;
\]
\[
4x + 156 — 16x^2 = 81 + 54x + 9x^2;
\]
\[
25x^2 + 50x — 75 = 0 \quad | : 25;
\]
\[
x^2 + 2x — 3 = 0;
\]
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\]
\[
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\]
Выполним проверку:
\[
\sqrt{13 — 4 \cdot (-3)} + \sqrt{-3 + 3} = 5 + 0 — 5 = 0;
\]
\[
\sqrt{13 — 4 \cdot 1} + \sqrt{1 + 3} = 3 + 2 — 5 = 0;
\]
Ответ: -3; 1.
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x — 5} + \sqrt{10 — x} = 3; \)
Начнем с первого уравнения \( \sqrt{x — 5} + \sqrt{10 — x} = 3 \). Переносим один из корней на правую сторону уравнения:
\( \sqrt{x — 5} = 3 — \sqrt{10 — x} \)
Теперь возводим обе части в квадрат:
\( (\sqrt{x — 5})^2 = (3 — \sqrt{10 — x})^2 \)
Раскроем квадрат правой части уравнения:
\( x — 5 = (3 — \sqrt{10 — x})^2 \)
Приводим к общему виду:
\( x — 5 = 9 — 6 \sqrt{10 — x} + (10 — x) \)
Переносим все элементы на одну сторону:
\( x — 5 — 9 + x — 10 = — 6 \sqrt{10 — x} \)
Упрощаем:
\( 2x — 24 = -6 \sqrt{10 — x} \)
Теперь делим обе части на -6:
\( \frac{2x — 24}{-6} = \sqrt{10 — x} \)
Возводим обе части в квадрат:
\( \left(\frac{2x — 24}{-6}\right)^2 = (10 — x) \)
После раскрытия квадратов и упрощения, решаем полученное уравнение и получаем \( x = 6 \) и \( x = 9 \).
Проверка:
Проверим полученные значения для \( x \):
\( \sqrt{6 — 5} + \sqrt{10 — 6} = 1 + 2 = 3; \)
\( \sqrt{9 — 5} + \sqrt{10 — 9} = 2 + 1 = 3; \)
Ответ: \( x = 6 \), \( x = 9 \).
2) \( \sqrt{x — 7} + \sqrt{x — 1} = 4; \)
Для второго уравнения перенесем второй корень на правую сторону:
\( \sqrt{x — 7} = 4 — \sqrt{x — 1} \)
Теперь возводим обе стороны в квадрат:
\( (\sqrt{x — 7})^2 = (4 — \sqrt{x — 1})^2 \)
После раскрытия квадратов, получаем:
\( x — 7 = 16 — 8 \sqrt{x — 1} + (x — 1) \)
Теперь переносим все элементы на одну сторону:
\( x — 7 — 16 + 1 — x = -8 \sqrt{x — 1} \)
Упрощаем:
\( -22 = -8 \sqrt{x — 1} \)
Теперь делим обе стороны на -8:
\( \frac{-22}{-8} = \sqrt{x — 1} \)
Возводим обе части в квадрат:
\( \left(\frac{22}{8}\right)^2 = x — 1 \)
Решаем и находим значение \( x = 8 \frac{9}{16} \).
Проверка:
Проверим для \( x = 8 \frac{9}{16} \):
\( \sqrt{\frac{137}{16} — 7} + \frac{137}{16} — 1 — 4 + \frac{5}{4} + \frac{11}{4} — 4 = 0; \)
Ответ: \( 8 \frac{9}{16} \).
3) \( \sqrt{1 — x} + \sqrt{1 + x} = 1; \)
Для третьего уравнения:
\( (1 — x) + 2 \sqrt{(1 — x)(1 + x)} + (1 + x) = 1 \)
Преобразуем уравнение:
\( 2 \sqrt{1 — x^2} = -1 \)
Так как квадратный корень не может быть отрицательным, мы можем заключить, что решения нет.
Ответ: Корней нет.
4) \( \sqrt{13 — 4x} + \sqrt{x + 3} = 5; \)
Для последнего уравнения:
\( (13 — 4x) + 2 \sqrt{(13 — 4x)(x + 3)} + (x + 3) = 25 \)
После преобразования получаем:
\( 2 \sqrt{13x + 39 — 4x^2 — 12x} = 9 + 3x \)
Решаем уравнение, раскрываем квадрат и упрощаем:
\( 25x^2 + 50x — 75 = 0 \)
Решаем квадратное уравнение:
\( x^2 + 2x — 3 = 0 \)
Находим дискриминант и решения:
\( D = 16 \), тогда \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 1 \).
Проверка:
Для \( x = -3 \):
\( \sqrt{13 — 4 \cdot (-3)} + \sqrt{-3 + 3} = 5 + 0 — 5 = 0 \)
Для \( x = 1 \):
\( \sqrt{13 — 4 \cdot 1} + \sqrt{1 + 3} = 3 + 2 — 5 = 0 \)
Ответ: -3; 1.
