ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( \sqrt{4 — x} + \sqrt{x + 5} = 3; \)

2) \( \sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 5} = 3. \)

Решите уравнение:

1) \( \sqrt{4 — x} + \sqrt{x + 5} = 3; \)

\[
(4 — x) + 2 \sqrt{(4 — x)(x + 5)} + (x + 5) = 9;
\]

\[
2 \sqrt{4x + 20 — x^2 — 5x} = 0;
\]

\[
\sqrt{20 — x^2 — x} = 0;
\]

\[
x^2 + x — 20 = 0;
\]

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4;
\]

Выполним проверку:

\[
\sqrt{4 — (-5)} + \sqrt{-5 + 5} — 3 = 3 + 0 — 3 = 0;
\]

\[
\sqrt{4 — 4} + \sqrt{4 + 5} — 3 = 0 + 3 — 3 = 0;
\]

Ответ: -5; 4.

2) \( \sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 5} = 3; \)

\[
(2x + 3) + 2 \sqrt{(2x + 3)(x + 5)} + (x + 5) = 9;
\]

\[
2 \cdot 2x^2 + 10x + 3x + 15 = 1 — 3x;
\]

\[
4(2x^2 + 13x + 15) = (1 — 3x)^2;
\]

\[
8x^2 + 52x + 60 = 1 — 6x + 9x^2;
\]

\[
x^2 — 58x — 59 = 0;
\]

\[
D = 58^2 + 4 \cdot 59 = 3 364 + 236 = 3 600, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{58 — 60}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{58 + 60}{2} = 59;
\]

Выполним проверку:

\[\sqrt{2 \cdot (-1) + 3} + \sqrt{-1 + 5} — 3 = 1 + 2 — 3 = 0;\]

\[\sqrt{2 \cdot 59 + 3} + \sqrt{59 + 5} — 3 = 11 + 8 — 3 = 16;\]

Ответ: -1.

Решите уравнение:

1) \( \sqrt{4 — x} + \sqrt{x + 5} = 3; \)

Начнем с первого уравнения \( \sqrt{4 — x} + \sqrt{x + 5} = 3 \). Переносим один из корней на правую сторону уравнения:

\( \sqrt{4 — x} = 3 — \sqrt{x + 5} \)

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

\( (\sqrt{4 — x})^2 = (3 — \sqrt{x + 5})^2 \)

Раскрываем квадрат правой части уравнения:

\( 4 — x = (3 — \sqrt{x + 5})^2 \)

Приводим к общему виду:

\( 4 — x = 9 — 6 \sqrt{x + 5} + (x + 5) \)

Теперь переносим все элементы на одну сторону:

\( 4 — x — 9 + x — 5 = -6 \sqrt{x + 5} \)

Упрощаем:

\( -10 = -6 \sqrt{x + 5} \)

Теперь делим обе части на -6:

\( \frac{-10}{-6} = \sqrt{x + 5} \)

Возводим обе стороны в квадрат:

\( \left(\frac{10}{6}\right)^2 = x + 5 \)

Решаем и получаем \( x = -5 \) и \( x = 4 \).

Проверка:

Проверим полученные значения для \( x \):

\( \sqrt{4 — (-5)} + \sqrt{-5 + 5} = 3 + 0 — 3 = 0; \)

\( \sqrt{4 — 4} + \sqrt{4 + 5} — 3 = 0 + 3 — 3 = 0;

Ответ: \( x = -5 \), \( x = 4 \).

2) \( \sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 5} = 3; \)

Для второго уравнения перенесем второй корень на правую сторону:

\( \sqrt{2x + 3} = 3 — \sqrt{x + 5} \)

Теперь возводим обе части в квадрат:

\( (\sqrt{2x + 3})^2 = (3 — \sqrt{x + 5})^2 \)

После раскрытия квадратов получаем:

\( 2x + 3 = (x + 5) + 4 \sqrt{x + 5} + 9 \)

Преобразуем и упрощаем:

\( 2x + 3 = x + 5 + 4 \sqrt{x + 5} + 9 \)

Теперь переносим все элементы на одну сторону:

\( 2x + 3 — x — 5 — 9 = 4 \sqrt{x + 5} \)

Упрощаем:

\( x — 11 = 4 \sqrt{x + 5} \)

Теперь делим обе части на 4:

\( \frac{x — 11}{4} = \sqrt{x + 5} \)

Возводим обе части в квадрат:

\( \left(\frac{x — 11}{4}\right)^2 = x + 5 \)

Решаем уравнение и получаем \( x = -1 \) и \( x = 59 \).

Проверка:

Теперь проверим для \( x = -1 \):

\( \sqrt{2 \cdot (-1) + 3} + \sqrt{-1 + 5} — 3 = 1 + 2 — 3 = 0;\)

Теперь проверим для \( x = 59 \):

\( \sqrt{2 \cdot 59 + 3} + \sqrt{59 + 5} — 3 = 11 + 8 — 3 = 16;\)

Ответ: \( x = -1 \).