Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x + 1} + \sqrt{x — 3} = 2\sqrt{x} \);
2) \( \sqrt{5x — 1} — \sqrt{3x — 2} = \sqrt{x — 1} \);
3) \( 2\sqrt{3x — 1} — \sqrt{x — 1} = \sqrt{x — 9} \).
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x + 1} + \sqrt{x — 3} = 2\sqrt{x} \);
\[
\quad (2x + 1) + 2 \sqrt{(2x + 1)(x — 3)} + (x — 3) = 4x;
\]
\[
\quad 2\sqrt{2x^2 — 6x + x — 3} = x + 2;
\]
\[
\quad 4(2x^2 — 5x — 3) = (x + 2)^2;
\]
\[
\quad 8x^2 — 20x — 12 = x^2 + 4x + 4;
\]
\[
\quad 7x^2 — 24x — 16 = 0;
\]
\[
\quad D = 24^2 + 4 \cdot 7 \cdot 16 = 576 + 448 = 1 024, тогда:
\]
\[
\quad x_1 = \frac{24 — 32}{2 \cdot 7} = \frac{8}{14} = -\frac{4}{7};
\]
\[
\quad x_2 = \frac{24 + 32}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4;
\]
Выполним проверку:
\[
\quad \sqrt{2} \cdot 4 + 1 + \sqrt{4 — 3} — 2 \sqrt{4} = 3 + 1 — 4 = 0;
\]
Ответ: 4.
2) \( \sqrt{5x — 1} — \sqrt{3x — 2} = \sqrt{x — 1} \);
\[
\quad (5x — 1) — 2 \sqrt{(5x — 1)(3 — 2)} + (3x — 2) = x — 1;
\]
\[
\quad -2 \cdot 15x^2 — 10x — 3x + 2 = 2 — 7x;
\]
\[
\quad 4(15x^2 — 13x + 2) = (2 — 7x)^2;
\]
\[
\quad 60x^2 — 52x + 8 = 4 — 28x + 49x^2;
\]
\[
\quad 11x^2 — 24x + 4 = 0;
\]
\[
\quad D = 24^2 \cdot 4 \cdot 11 \cdot 4 = 576 — 176 = 400, тогда:
\]
\[
\quad x_1 = \frac{24 — 20}{2 \cdot 11} = \frac{4}{22};
\]
\[
\quad x_2 = \frac{24 + 20}{2 \cdot 11} = \frac{44}{22} = 2;
\]
Выполним проверку:
\[
\quad — \frac{4}{22}< 0;
\]
\[
\quad \sqrt{5} — 2 — \sqrt{3} \cdot 2 — 2 — \sqrt{2} — 1 = 3 — 2 — 1 = 0;
\]
Ответ: 2.
3) \( 2\sqrt{3x — 1} — \sqrt{x — 1} = \sqrt{x — 9} \);
\[
\quad 4(3x — 1) — 4 \sqrt{(3x — 1)(x — 1)} + (x — 1) = x — 9;
\]
\[
\quad -4 \sqrt{3x^2 — 3x — x + 1} = -12x — 4;
\]
\[
\quad \sqrt{3x^2 — 4x + 1} = 3x + 1;
\]
\[
\quad 3x^2 — 4x + 1 = 9x^2 + 6x + 1;
\]
\[
\quad 6x^2 + 10x = 0;
\]
\[
\quad (3x + 5)2x = 0;
\]
\[
\quad x_1 = -\frac{5}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = 0;
\]
Выполним проверку:
\[
\quad — \frac{5}{3} < 0 \quad \text{и} \quad 0 — 1 < 0;
\]
Ответ: корней нет.
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x + 1} + \sqrt{x — 3} = 2\sqrt{x} \);
Для начала решим уравнение, возведя обе части в квадрат. Мы имеем два корня, и для упрощения попробуем выразить один из них через другой. Переносим один из корней на другую сторону уравнения, затем возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня.
\(\quad (2x + 1) + 2 \sqrt{(2x + 1)(x — 3)} + (x — 3) = 4x;
\)
\(\quad 2\sqrt{2x^2 — 6x + x — 3} = x + 2;
\)
\(\quad 4(2x^2 — 5x — 3) = (x + 2)^2;
\)
\(\quad 8x^2 — 20x — 12 = x^2 + 4x + 4;
\)
\(\quad 7x^2 — 24x — 16 = 0;
\)
Для этого уравнения находим дискриминант:
\(\quad D = 24^2 + 4 \cdot 7 \cdot 16 = 576 + 448 = 1 024, \text{ тогда:}
\)
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\(\quad x_1 = \frac{24 — 32}{2 \cdot 7} = \frac{8}{14} = -\frac{4}{7};
\)
\(\quad x_2 = \frac{24 + 32}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4;
\)
Выполним проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение:
\(\quad \sqrt{2} \cdot 4 + 1 + \sqrt{4 — 3} — 2 \sqrt{4} = 3 + 1 — 4 = 0;
\)
Ответ: 4.
2) \( \sqrt{5x — 1} — \sqrt{3x — 2} = \sqrt{x — 1} \);
Для того чтобы решить это уравнение, возведем обе части в квадрат. Таким образом, мы избавимся от квадратных корней. После этого раскрываем все скобки и продолжаем решение, упрощая выражение.
\(\quad (5x — 1) — 2 \sqrt{(5x — 1)(3x — 2)} + (3x — 2) = x — 1;
\)
\(\quad -2 \cdot 15x^2 — 10x — 3x + 2 = 2 — 7x;
\)
\(\quad 4(15x^2 — 13x + 2) = (2 — 7x)^2;
\)
\(\quad 60x^2 — 52x + 8 = 4 — 28x + 49x^2;
\)
\(\quad 11x^2 — 24x + 4 = 0;
\)
Находим дискриминант этого уравнения:
\(\quad D = 24^2 \cdot 4 \cdot 11 \cdot 4 = 576 — 176 = 400, \text{ тогда:}
\)
Корни уравнения:
\(\quad x_1 = \frac{24 — 20}{2 \cdot 11} = \frac{4}{22};
\)
\(\quad x_2 = \frac{24 + 20}{2 \cdot 11} = \frac{44}{22} = 2;
\)
Выполним проверку:
\(\quad — \frac{4}{22}< 0;
\)
\(\quad \sqrt{5} — 2 — \sqrt{3} \cdot 2 — 2 — \sqrt{2} — 1 = 3 — 2 — 1 = 0;
\)
Ответ: 2.
3) \( 2\sqrt{3x — 1} — \sqrt{x — 1} = \sqrt{x — 9} \);
Это уравнение также решается через возведение в квадрат обеих частей. Раскрываем скобки и продолжаем решение, получая квадратные уравнения.
\(\quad 4(3x — 1) — 4 \sqrt{(3x — 1)(x — 1)} + (x — 1) = x — 9;
\)
\(\quad -4 \sqrt{3x^2 — 3x — x + 1} = -12x — 4;
\)
\(\quad \sqrt{3x^2 — 4x + 1} = 3x + 1;
\)
\(\quad 3x^2 — 4x + 1 = 9x^2 + 6x + 1;
\)
\(\quad 6x^2 + 10x = 0;
\)
\(\quad (3x + 5)2x = 0;
\)
Решаем это уравнение и находим корни:
\(\quad x_1 = -\frac{5}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = 0;
\)
Выполнив проверку, мы находим, что у данного уравнения нет действительных корней:
Ответ: корней нет.
