Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x + 2} + \sqrt{3x + 7} = \sqrt{8 — x}; \)
2) \( \sqrt{6x — 11} — \sqrt{x — 2} = \sqrt{x + 3}. \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x + 2} + \sqrt{3x + 7} = \sqrt{8 — x}; \)
\[
(x + 2) + 2\sqrt{(x + 2)(3x + 7)} + (x + 7) = 8 — x;
\]
\[
2\sqrt{3x^2 + 7x + 6x + 14} = -1 — 5x;
\]
\[
4(3x^2 + 13x + 14) = (1 + 5x)^2;
\]
\[
12x^2 + 52x + 56 = 1 + 10x + 25x^2;
\]
\[
13x^2 — 42x — 55 = 0;
\]
\[
D = 42^2 + 4 \cdot 13 \cdot 55 = 1764 + 2860 = 4624, тогда:
\]
\[
x_1 = \frac{42 — 68}{2 \cdot 13} = \frac{26}{26} = -1;
\]
\[
x_2 = \frac{42 + 68}{2 \cdot 13} = \frac{110}{26} = \frac{55}{13};
\]
Выполним проверку:
\[
\sqrt{3} \cdot (-1) + 7 — \sqrt{8 — (-1)} = 1 + 2 — 3 = 0;
\]
Ответ: -1.
2) \( \sqrt{6x — 11} — \sqrt{x — 2} = \sqrt{x + 3}; \)
\[
(6x — 11) — 2 \sqrt{(6x — 11)(x — 2)} + (x — 2) = x + 3;
\]
\[
-2 \cdot 6x^2 — 12x — 11x + 22 = 16 — 6x;
\]
\[
6x^2 — 23x + 22 = 3x — 8;
\]
\[
6x^2 — 23x + 22 = 9x^2 — 48x + 64;
\]
\[
3x^2 — 25x + 42 = 0;
\]
\[
D = 25^2 — 4 \cdot 3 \cdot 42 = 625 — 504 = 121, тогда:
\]
\[
x_1 = \frac{25 — 11}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3};
\]
\[
x_2 = \frac{25 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6;
\]
Выполним проверку:
\[
\sqrt{6} \cdot 6 — 11 — \sqrt{6} \cdot 2 — \sqrt{6} + 3 = 5 — 2 — 3 = 0;
\]
Ответ: 6.
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x + 2} + \sqrt{3x + 7} = \sqrt{8 — x} \);
Для начала возведем обе стороны уравнения в квадрат. Это позволит избавиться от квадратных корней и упростить дальнейшее решение. Возведение в квадрат обеих частей уравнения даёт возможность свести задачу к более простому виду.
\(\quad (x + 2) + 2\sqrt{(x + 2)(3x + 7)} + (x + 7) = 8 — x;
\)
Мы видим, что у нас два корня. Для упрощения возведем обе стороны уравнения в квадрат и будем работать с полученной формой. Это обеспечит нам удобный способ для дальнейших вычислений.
\(\quad 2\sqrt{3x^2 + 7x + 6x + 14} = -1 — 5x;
\)
Затем раскрываем скобки и приводим подобные члены:
\(\quad 4(3x^2 + 13x + 14) = (1 + 5x)^2;
\)
После раскрытия скобок получаем следующее выражение:
\(\quad 12x^2 + 52x + 56 = 1 + 10x + 25x^2;
\)
Теперь переносим все члены на одну сторону:
\(\quad 13x^2 — 42x — 55 = 0;
\)
Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Рассчитаем дискриминант:
\(\quad D = 42^2 + 4 \cdot 13 \cdot 55 = 1764 + 2860 = 4624, \text{ тогда:}
\)
Находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\(\quad x_1 = \frac{42 — 68}{2 \cdot 13} = \frac{26}{26} = -1;
\)
\(\quad x_2 = \frac{42 + 68}{2 \cdot 13} = \frac{110}{26} = \frac{55}{13};
\)
Выполним проверку, подставив найденное значение \( x = -1 \) в исходное уравнение:
\(\quad \sqrt{3} \cdot (-1) + 7 — \sqrt{8 — (-1)} = 1 + 2 — 3 = 0;
\)
Ответ: \( x = -1 \).
2) \( \sqrt{6x — 11} — \sqrt{x — 2} = \sqrt{x + 3} \);
Для того чтобы решить это уравнение, опять используем метод возведения обеих сторон в квадрат. После этого расписываем все скобки и приводим подобные члены, чтобы упростить уравнение.
\(\quad (6x — 11) — 2 \sqrt{(6x — 11)(x — 2)} + (x — 2) = x + 3;
\)
Далее, раскрываем все скобки и приводим подобные члены:
\(\quad -2 \cdot 6x^2 — 12x — 11x + 22 = 16 — 6x;
\)
Продолжаем приводить подобные члены:
\(\quad 6x^2 — 23x + 22 = 3x — 8;
\)
Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:
\(\quad 6x^2 — 23x + 22 = 9x^2 — 48x + 64;
\)
Упрощаем полученное уравнение:
\(\quad 3x^2 — 25x + 42 = 0;
\)
Рассчитываем дискриминант:
\(\quad D = 25^2 — 4 \cdot 3 \cdot 42 = 625 — 504 = 121, \text{ тогда:}
\)
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\(\quad x_1 = \frac{25 — 11}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3};
\)
\(\quad x_2 = \frac{25 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6;
\)
Выполним проверку для корня \( x = 6 \), подставив его в исходное уравнение:
\(\quad \sqrt{6} \cdot 6 — 11 — \sqrt{6} \cdot 2 — \sqrt{6} + 3 = 5 — 2 — 3 = 0;
\)
Ответ: \( x = 6 \).
