Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( x^2 — 5x + 16 — 3 \sqrt{x^2 — 5x + 20} = 0; \)
2) \( x^2 + 4 — 5 \sqrt{x^2 — 2} = 0; \)
3) \( \sqrt{x^2 — 3x + 5 + x^2} = 3x + 7; \)
4) \( \sqrt{3x^2 — 9x — 26} = 12 + 3x — x^2; \)
5) \( 2x^2 + 6x — 3 \sqrt{x^2 + 3x — 3} = 5; \)
6) \( \sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72. \)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( x^2 — 5x + 16 — 3 \sqrt{x^2 — 5x + 20} = 0; \)
\( \left( \sqrt{x^2 — 5x + 20} \right)^2 — 3 \sqrt{x^2 — 5x + 20} — 4 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — 5x + 20}, \) тогда:
\[ y^2 — 3y — 4 = 0; \]
\( D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \) тогда:
\[ y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4; \]
Вернем замену:
\[ \sqrt{x^2 — 5x + 20} = 4; \]
\[ x^2 — 5x + 20 = 16; \]
\[ x^2 — 5x + 4 = 0; \]
\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \) тогда:
\[ x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4; \]
Ответ: \( 1; 4. \)
2) \( x^2 + 4 — 5 \sqrt{x^2 — 2} = 0; \)
\( \left( \sqrt{x^2 — 2} \right)^2 — 5x^2 — 24 + 6 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — 2}, \) тогда:
\( y^2 — 5y + 6 = 0; \)
\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \) тогда:
\( y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3; \)
Первое значение:
\( \sqrt{x^2 — 2} = 2; \)
\( x^2 — 2 = 4; \)
\( x^2 = 6; \)
\( x = \pm \sqrt{6}; \)
Второе значение:
\( \sqrt{x^2 — 2} = 3; \)
\( x^2 — 2 = 9; \)
\( x^2 = 11; \)
\( x = \pm \sqrt{11}; \)
Ответ: \( \pm \sqrt{6}; \pm \sqrt{11}. \)
3) \( \sqrt{x^2 — 3x + 5} + x^2 = 3x + 7; \)
\( \sqrt{(x^2 — 3x + 5)^2} + \sqrt{x^2 — 3x + 5} — 12 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — 3x + 5}, \) тогда:
\( y^2 + y — 12 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{x^2 — 3x + 5} = 3; \)
\( x^2 — 3x + 5 = 9; \)
\( x^2 — 3x — 4 = 0; \)
\( D = 3^2 — 4 \cdot 4 = 9 — 16 = 25, \) тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4; \)
Ответ: \( -1; 4. \)
4) \( \sqrt{3x^2 — 9x — 26} = 12 + 3x — x^2; \)
\( \sqrt{3x^2 — 9x — 26} + (x^2 — 3x) — 12 = 0; \)
Пусть \( y = 3x^2 — 9x — 26, \) тогда:
\( 3x^2 — 9x = y^2 + 26; \)
\( x^2 — 3x = \frac{y^2 + 26}{3}; \)
Подставим значение \( y: \)
\( y + \frac{y^2 + 26}{3} — 12 = 0 \quad | \cdot 3; \)
\( 3y + y^2 + 26 — 36 = 0; \)
\( y^2 + 3y — 10 = 0; \)
\( D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{3x^2 — 9x — 26} = 2; \)
\( 3x^2 — 9x — 26 = 4; \)
\( 3x^2 — 9x — 30 = 0 \quad | : 3; \)
\( x^2 — 3x — 10 = 0; \)
\( D = 3^2 — 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \) тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5; \)
Ответ: \( -2; 5. \)
5) \( 2x^2 + 6x — 3\sqrt{x^2 + 3x — 3} = 5; \)
Пусть
\( y = \sqrt{x^2 + 3x — 3}, \)
тогда:
\( x^2 + 3x = y^2 + 3; \)
\( 2x^2 + 6x = 2y^2 + 6; \)
Подставим значение \(y\):
\( 2y^2 + 6 — 3y = 5; \)
\( 2y^2 — 3y + 1 = 0; \)
Дискриминант:
\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1, \)
тогда:
\( y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}; \)
\( y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1; \)
Первое значение:
\( \sqrt{x^2 + 3x — 3} = \frac{1}{2}; \)
Возводим в квадрат:
\( x^2 + 3x — 3 = \frac{1}{4}; \)
Умножаем на 4:
\( 4x^2 + 12x — 12 = 1; \)
\( 4x^2 + 12x — 13 = 0; \)
Дискриминант:
\( D = 12^2 + 4 \cdot 4 \cdot 13 = 144 + 208 = 352, \)
тогда:
\( x = \frac{-12 \pm \sqrt{352}}{4 \cdot 2} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}; \)
Второе значение:
\( \sqrt{x^2 + 3x — 3} = 1; \)
Возводим в квадрат:
\( x^2 + 3x — 3 = 1; \)
\( x^2 + 3x — 4 = 0; \)
Дискриминант:
\( D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \)
тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1; \)
Ответ:
\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}; \quad -4; \quad 1. \)
6) \( \sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72. \)
Преобразуем корни:
$$
\sqrt[10]{x^{5} \cdot x} + \sqrt[10]{x^{2} \cdot x} = 72;
$$
$$
\sqrt[10]{(x^{3})^2} + \sqrt[10]{x^{3}} — 72 = 0;
$$
Пусть
$$
y = \sqrt[10]{x^{3}},
$$
тогда уравнение примет вид:
$$
y^2 + y — 72 = 0;
$$
Вычислим дискриминант:
$$
D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289,
$$
Тогда корни уравнения:
$$
y_1 = \frac{-1 — 17}{2} = -9, \quad y_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8;
$$
Вернём замену:
$$
x = \sqrt[3]{y^{10}} = \sqrt[3]{8^{10}} = \sqrt[3]{2^{30}} = 2^{10} = 1024;
$$
Ответ:
$$
1024.
$$
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( x^2 — 5x + 16 — 3 \sqrt{x^2 — 5x + 20} = 0; \)
Для начала разложим выражение \( \sqrt{x^2 — 5x + 20} \) и применим метод замены переменной. Мы можем выразить его как новый параметр \( y \), чтобы упростить дальнейшее решение. Рассмотрим:
\( \left( \sqrt{x^2 — 5x + 20} \right)^2 — 3 \sqrt{x^2 — 5x + 20} — 4 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — 5x + 20}, \) тогда:
\( y^2 — 3y — 4 = 0; \)
Теперь решим квадратное уравнение для \( y \). Используем дискриминант для нахождения корней:
Дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1; \)
Таким образом, корни уравнения для \( y \) следующие: \( y_1 = -4 \) и \( y_2 = 1 \).
Теперь вернемся к исходной переменной \( x \) и подставим значения \( y \):
Заменяем \( y = \sqrt{x^2 — 5x + 20} \). Подставляем значения для \( y_2 = 1 \) (так как \( y_1 = -4 \) не имеет смысла, так как корень не может быть отрицательным):
\( \sqrt{x^2 — 5x + 20} = 1; \)
Теперь возводим обе части в квадрат:
\( x^2 — 5x + 20 = 1^2 = 1; \)
Преобразуем уравнение:
\( x^2 — 5x + 20 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x + 19 = 0; \)
Теперь решаем это квадратное уравнение для \( x \) с помощью дискриминанта:
Дискриминант: \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 19 = 25 — 76 = -51, \) что означает отсутствие действительных решений для \( x \), если мы работаем в поле действительных чисел. Таким образом, данный корень \( y_1 = -4 \) не подходит для решения этой задачи.
Переходим ко второму возможному значению для \( y_2 = 4 \):
\( x^2 — 5x + 4 = 0; \)
Теперь применим стандартную формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
Корни: \( x_1 = 1, x_2 = 4; \)
Ответ: \( 1, 4 \).
2) \( x^2 + 4 — 5 \sqrt{x^2 — 2} = 0; \)
\( \left( \sqrt{x^2 — 2} \right)^2 — 5x^2 — 24 + 6 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — 2}, \) тогда:
\( y^2 — 5y + 6 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \) тогда:
\( y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3; \)
Теперь подставляем значение \( y_2 = 3 \):
\( \sqrt{x^2 — 2} = 3; \)
Возводим в квадрат обе части:
\( x^2 — 2 = 9; \)
\( x^2 = 11; \)
\( x = \pm \sqrt{11}; \)
Ответ: \( \pm \sqrt{11}. \)
3) \( \sqrt{x^2 — 3x + 5} + x^2 = 3x + 7; \)
\( \sqrt{(x^2 — 3x + 5)^2} + \sqrt{x^2 — 3x + 5} — 12 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — 3x + 5}, \) тогда:
\( y^2 + y — 12 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{x^2 — 3x + 5} = 3; \)
\( x^2 — 3x + 5 = 9; \)
\( x^2 — 3x — 4 = 0; \)
Дискриминант:
\( D = 3^2 — 4 \cdot 4 = 9 — 16 = 25, \) тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4; \)
Ответ: \( -1; 4. \)
4) \( \sqrt{3x^2 — 9x — 26} = 12 + 3x — x^2; \)
\( \sqrt{3x^2 — 9x — 26} + (x^2 — 3x) — 12 = 0; \)
Пусть \( y = 3x^2 — 9x — 26, \) тогда:
\( 3x^2 — 9x = y^2 + 26; \)
\( x^2 — 3x = \frac{y^2 + 26}{3}; \)
Подставим значение \( y: \)
\( y + \frac{y^2 + 26}{3} — 12 = 0 \quad | \cdot 3; \)
\( 3y + y^2 + 26 — 36 = 0; \)
\( y^2 + 3y — 10 = 0; \)
Дискриминант:
\( D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{3x^2 — 9x — 26} = 2; \)
\( 3x^2 — 9x — 26 = 4; \)
\( 3x^2 — 9x — 30 = 0 \quad | : 3; \)
\( x^2 — 3x — 10 = 0; \)
Дискриминант:
\( D = 3^2 — 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \) тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5; \)
Ответ: \( -2; 5. \)
5) \( 2x^2 + 6x — 3\sqrt{x^2 + 3x — 3} = 5; \)
Пусть
\( y = \sqrt{x^2 + 3x — 3}, \)
тогда:
\( x^2 + 3x = y^2 + 3; \)
\( 2x^2 + 6x = 2y^2 + 6; \)
Подставим значение \(y\):
\( 2y^2 + 6 — 3y = 5; \)
\( 2y^2 — 3y + 1 = 0; \)
Дискриминант:
\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1, \)
тогда:
\( y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}; \)
\( y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;\)
Первое значение:
\( \sqrt{x^2 + 3x — 3} = \frac{1}{2}; \)
Возводим в квадрат:
\( x^2 + 3x — 3 = \frac{1}{4}; \)
Умножаем на 4:
\( 4x^2 + 12x — 12 = 1; \)
\( 4x^2 + 12x — 13 = 0; \)
Дискриминант:
\( D = 12^2 + 4 \cdot 4 \cdot 13 = 144 + 208 = 352, \)
тогда:
\( x = \frac{-12 \pm \sqrt{352}}{4 \cdot 2} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2};\)
Второе значение:
\( \sqrt{x^2 + 3x — 3} = 1;\)
Возводим в квадрат:
\( x^2 + 3x — 3 = 1; \)
\( x^2 + 3x — 4 = 0;\)
Дискриминант:
\( D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \)
тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;\)
Ответ:
\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}; \quad -4; \quad 1.\)
6) \( \sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72. \)
Преобразуем корни:
\( \sqrt[10]{x^{5} \cdot x} + \sqrt[10]{x^{2} \cdot x} = 72; \)
\( \sqrt[10]{(x^{3})^2} + \sqrt[10]{x^{3}} — 72 = 0;\)
Пусть
\( y = \sqrt[10]{x^{3}}, \)
тогда уравнение примет вид:
\( y^2 + y — 72 = 0;\)
Вычислим дискриминант:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289, \)
Тогда корни уравнения:
\( y_1 = \frac{-1 — 17}{2} = -9, \quad y_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8;\)
Вернем замену:
\( x = \sqrt[3]{y^{10}} = \sqrt[3]{8^{10}} = \sqrt[3]{2^{30}} = 2^{10} = 1024;\)
Ответ:
\( 1024.\)
