Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( x^2 — 4x — 3 \sqrt{x^2 — 4x + 20} + 10 = 0; \)
2) \( 2\sqrt{x^2 — 3x + 11} = 4 + 3x — x^2; \)
3) \( \sqrt{2x^2 — 6x + 40} = x^2 — 3x + 8; \)
4) \( 5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x — 15} = 123; \)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( x^2 — 4x — 3 \sqrt{x^2 — 4x + 20} + 10 = 0; \)
\( \left( \sqrt{x^2 — 4x + 20} \right)^2 — 3 \sqrt{x^2 — 4x + 20} — 10 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — 4x + 20}, \) тогда:
\( y^2 — 3y — 10 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \) тогда:
\( y_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{x^2 — 4x + 20} = 5; \)
\( x^2 — 4x + 20 = 25; \)
\( x^2 — 4x — 5 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36, \) тогда:
\( x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;\)
Ответ: \( -1; 5. \)
2) \( 2\sqrt{x^2 — 3x + 11} = 4 + 3x — x^2; \)
\( \sqrt{(x^2 — 3x + 11)^2} + 2\sqrt{x^2 — 3x + 11} — 15 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — 3x + 11}, \) тогда:
\( y^2 + 2y — 15 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{x^2 — 3x + 11} = 3; \)
\( x^2 — 3x + 11 = 9; \)
\( x^2 — 3x + 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, тогда:\)
\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;\)
Ответ: \( 1; 2. \)
3) \( \sqrt{2x^2 — 6x + 40} = x^2 — 3x + 8; \)
Пусть \( y = \sqrt{2x^2 — 6x + 40}, \) тогда:
\( 2x^2 — 6x = y^2 — 40; \)
\( x^2 — 3x = \frac{y^2 — 40}{2}; \)
Подставим значение \( y \):
\( y = \frac{y^2 — 40}{2} + 8 \quad | × 2 \)
\(2y = y^2 — 40 + 16; \)
\( y^2 — 2y — 24 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100, \) тогда:
\( y_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{2x^2 — 6x + 40} = 6; \)
\( 2x^2 — 6x + 40 = 36; \)
\( 2x^2 — 6x + 4 = 0 \quad | : 2; \)
\( x^2 — 3x + 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \) тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)
Ответ: \( 1; 2. \)
4) \( 5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x — 15} = 123; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 + 2x — 15}, \) тогда:
\( x^2 + 2x = y^2 + 15; \)
\( 5x^2 + 10x = 5y^2 + 75; \)
Подставим значение \( y: \)
\( 5y^2 + 75 + y = 123; \)
\( 5y^2 + y — 48 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 5 \cdot 48 = 1 + 960 = 961, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-1 — 31}{2 \cdot 5} = \frac{-32}{10} = -3.2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 31}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{x^2 + 2x — 15} = 3; \)
\( x^2 + 2x — 15 = 9; \)
\( x^2 + 2x — 24 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — 10}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4; \)
Ответ: \( -6; 4. \)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( x^2 — 4x — 3 \sqrt{x^2 — 4x + 20} + 10 = 0; \)
Для начала разложим выражение \( \sqrt{x^2 — 4x + 20} \) и применим метод замены переменной. Мы можем выразить его как новый параметр \( y \), чтобы упростить дальнейшее решение. Рассмотрим:
\( \left( \sqrt{x^2 — 4x + 20} \right)^2 — 3 \sqrt{x^2 — 4x + 20} — 10 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — 4x + 20}, \) тогда:
\( y^2 — 3y — 10 = 0; \)
Теперь решим квадратное уравнение для \( y \). Используем дискриминант для нахождения корней:
Дискриминант: \( D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \) тогда:
\( y_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5; \)
Теперь подставим значения для \( y \) и вернемся к переменной \( x \):
Заменяем \( y = \sqrt{x^2 — 4x + 20} \). Подставляем значения для \( y_2 = 5 \) (так как \( y_1 = -2 \) не имеет смысла, так как корень не может быть отрицательным):
\( \sqrt{x^2 — 4x + 20} = 5; \)
Теперь возводим обе части в квадрат:
\( x^2 — 4x + 20 = 5^2 = 25; \)
Преобразуем уравнение:
\( x^2 — 4x + 20 = 25 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 4x + 19 = 0; \)
Теперь решаем это квадратное уравнение для \( x \) с помощью дискриминанта:
Дискриминант: \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 19 = 16 — 76 = -60, \) что означает отсутствие действительных решений для \( x \), если мы работаем в поле действительных чисел. Таким образом, данный корень \( y_1 = -2 \) не подходит для решения этой задачи.
Переходим ко второму возможному значению для \( y_2 = 5 \):
\( x^2 — 4x + 20 = 25; \)
Теперь решаем уравнение для \( x \):
\( x^2 — 4x + 4 = 0; \)
Корни этого уравнения: \( x_1 = 1, x_2 = 5; \)
Ответ: \( 1; 5. \)
2) \( 2\sqrt{x^2 — 3x + 11} = 4 + 3x — x^2; \)
\( \sqrt{(x^2 — 3x + 11)^2} + 2\sqrt{x^2 — 3x + 11} — 15 = 0; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 — 3x + 11}, \) тогда:
\( y^2 + 2y — 15 = 0; \)
Теперь решаем квадратное уравнение для \( y \):
Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3; \)
Теперь подставляем значение для \( y_2 = 3 \):
\( \sqrt{x^2 — 3x + 11} = 3; \)
Возводим обе части в квадрат:
\( x^2 — 3x + 11 = 9; \)
\( x^2 — 3x + 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \) тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;\)
Ответ: \( 1; 2.\)
3) \( \sqrt{2x^2 — 6x + 40} = x^2 — 3x + 8; \)
Пусть \( y = \sqrt{2x^2 — 6x + 40}, \) тогда:
\( 2x^2 — 6x = y^2 — 40; \)
\( x^2 — 3x = \frac{y^2 — 40}{2}; \)
Подставим значение \( y \):
\( y = \frac{y^2 — 40}{2} + 8 \quad | : 2 \)
\( 2y = y^2 — 40 + 16;\)
\( y^2 — 2y — 24 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100, \) тогда:
\( y_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{2x^2 — 6x + 40} = 6; \)
\( 2x^2 — 6x + 40 = 36; \)
\( 2x^2 — 6x + 4 = 0 \quad | : 2; \)
\( x^2 — 3x + 2 = 0;\)
Дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \) тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;\)
Ответ: \( 1; 2.\)
4) \( 5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x — 15} = 123; \)
Пусть \( y = \sqrt{x^2 + 2x — 15}, \) тогда:
\( x^2 + 2x = y^2 + 15; \)
\( 5x^2 + 10x = 5y^2 + 75; \)
Подставим значение \( y:\)
\( 5y^2 + 75 + y = 123; \)
\( 5y^2 + y — 48 = 0;\)
Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 5 \cdot 48 = 1 + 960 = 961, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-1 — 31}{2 \cdot 5} = \frac{-32}{10} = -3.2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 31}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3;\)
Вернем замену:
\( \sqrt{x^2 + 2x — 15} = 3;\)
\( x^2 + 2x — 15 = 9;\)
\( x^2 + 2x — 24 = 0;\)
Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — 10}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4;\)
Ответ: \( -6; 4.\)
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!