Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x — 1 — 2\sqrt{x — 2}} + \sqrt{x + 7 — 6\sqrt{x — 2}} = 6; \)
2) \( \sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} — \sqrt{x + 5 — 4\sqrt{x + 1}} = 4. \)
Решить уравнение:
1) \( \sqrt{x — 1 — 2\sqrt{x — 2}} + \sqrt{x + 7 — 6\sqrt{x — 2}} = 6 \)
Пусть \( y = \sqrt{x — 2} \), тогда:
\( y^2 = x — 2 \)
\( x = y^2 + 2 \)
Подставим значение \( y \):
\( \sqrt{y^2 + 2 — 1 — 2y} + \sqrt{y^2 + 2 + 7 — 6y} = 6 \);
\( \sqrt{y^2 — 2y + 1} + \sqrt{y^2 — 6y + 9} = 6 \);
\( \sqrt{(y — 1)^2} + \sqrt{(y — 3)^2} = 6 \);
\( |y — 1| + |y — 3| = 6 \);
Если \( y \geq 3 \), тогда:
\( (y — 1) + (y — 3) = 6 \);
\( 2y — 4 = 6 \);
\( 2y = 10 \);
\( y = 5 \);
Если \( 1 \leq y < 3 \), тогда:
\( (y — 1) — (y — 3) = 6 \);
\( 0y + 2 = 6 \);
\( 0y = 4 \);
\( y \in \emptyset \);
Если \( y < 1 \), тогда:
\( -(y — 1) — (y — 3) = 6 \);
\( -2y + 4 = 6 \);
\( -2y = 2 \);
\( y = -1 \);
Вернем замену:
\( \sqrt{x — 2} = 5 \);
\( x — 2 = 25 \);
\( x = 25 + 2 = 27 \);
Ответ: 27.
2) \( \sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} — \sqrt{x + 5 — 4\sqrt{x + 1}} = 4; \)
Пусть \( y = \sqrt{x + 1}, \) тогда:
\( y^2 = x + 1 \)
\( x = y^2 — 1 \)
Подставим значение \( y \):
\( \sqrt{y^2 — 1 + 2y} — \sqrt{y^2 — 1 + 5 — 4y} = 4; \)
\( \sqrt{(y + 1)^2} — \sqrt{(y — 2)^2} = 4; \)
\( |y + 1| — |y — 2| = 4; \)
Если \( y \geq 2, \) тогда:
\( (y + 1) — (y — 2) = 4; \)
\( 0y + 3 = 4; \)
\( 0y = 1; \)
\( y \in \emptyset; \)
Если \( -1 \leq y < 2, \) тогда:
\( (y + 1) + (y — 2) = 4; \)
\( 2y — 1 = 4; \)
\( 2y = 5; \)
\( y = 2.5; \)
Если \( y < -1, \) тогда:
\( -(y + 1) + (y — 2) = 4; \)
\( 0y = 7; \)
\( y \in \emptyset; \)
Ответ: корней нет.
Решить уравнение:
1) \( \sqrt{x — 1 — 2\sqrt{x — 2}} + \sqrt{x + 7 — 6\sqrt{x — 2}} = 6 \)
Пусть \( y = \sqrt{x — 2} \), тогда:
\( y^2 = x — 2 \)
\( x = y^2 + 2 \)
Теперь подставим значение \( y \) в исходное уравнение:
\( \sqrt{y^2 + 2 — 1 — 2y} + \sqrt{y^2 + 2 + 7 — 6y} = 6 \);
После упрощения получаем:
\( \sqrt{y^2 — 2y + 1} + \sqrt{y^2 — 6y + 9} = 6 \);
Теперь видим, что оба выражения под корнями можно представить как квадрат разности:
\( \sqrt{(y — 1)^2} + \sqrt{(y — 3)^2} = 6 \);
Далее мы применяем свойства модуля (модуль выражения равен его положительному значению):
\( |y — 1| + |y — 3| = 6 \);
Теперь рассмотрим разные случаи в зависимости от значений \( y \):
Если \( y \geq 3 \), то оба модуля можно записать без изменений:
\( (y — 1) + (y — 3) = 6 \);
Собираем подобные члены:
\( 2y — 4 = 6 \);
Упростим уравнение:
\( 2y = 10 \);
Теперь находим \( y \):
\( y = 5 \);
Если \( 1 \leq y < 3 \), то в этом случае один из модулей будет отрицательным, и его нужно изменить знак:
\( (y — 1) — (y — 3) = 6 \);
Упростим выражение:
\( 0y + 2 = 6 \);
Это приводит к противоречию:
\( 0y = 4 \);
Таким образом, решения в этом диапазоне \( y \) нет: \( y \in \emptyset \);
Если \( y < 1 \), тогда оба выражения под модулями отрицательны, и нам нужно изменить знак у обоих выражений:
\( -(y — 1) — (y — 3) = 6 \);
Раскрываем скобки:
\( -2y + 4 = 6 \);
Упростим уравнение:
\( -2y = 2 \);
Находим \( y \):
\( y = -1 \);
Теперь вернем замену для \( y \), то есть \( \sqrt{x — 2} = -1 \). Однако корень из числа не может быть отрицательным, следовательно, этого решения нет.
Теперь, вернувшись к решению \( y = 5 \), подставим его в замену:
\( \sqrt{x — 2} = 5 \);
Возводим обе стороны в квадрат:
\( x — 2 = 25 \);
Теперь решим для \( x \):
\( x = 25 + 2 = 27 \);
Ответ: \( 27 \).
2) \( \sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} — \sqrt{x + 5 — 4\sqrt{x + 1}} = 4; \)
Пусть \( y = \sqrt{x + 1}, \) тогда:
\( y^2 = x + 1 \)
\( x = y^2 — 1 \)
Подставим значение \( y \) в уравнение:
\( \sqrt{y^2 — 1 + 2y} — \sqrt{y^2 — 1 + 5 — 4y} = 4; \)
Теперь упростим выражения под корнями:
\( \sqrt{(y + 1)^2} — \sqrt{(y — 2)^2} = 4; \)
Затем, применяя свойства модуля, получаем:
\( |y + 1| — |y — 2| = 4; \)
Теперь рассмотрим различные случаи для \( y \):
Если \( y \geq 2, \) тогда:
\( (y + 1) — (y — 2) = 4; \)
Преобразуем уравнение:
\( 0y + 3 = 4; \)
Получаем, что:
\( 0y = 1; \)
Таким образом, решения в этом диапазоне \( y \) нет: \( y \in \emptyset; \)
Если \( -1 \leq y < 2, \) тогда:
\( (y + 1) + (y — 2) = 4; \)
Упростим:
\( 2y — 1 = 4; \)
Найдем \( y \):
\( 2y = 5; \)
\( y = 2.5; \)
Если \( y < -1, \) тогда:
\( -(y + 1) + (y — 2) = 4; \)
Упростим:
\( 0y = 7; \)
Здесь также получаем противоречие, и решения нет: \( y \in \emptyset \);
Ответ: корней нет.
