Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x + 2\sqrt{x — 1}} + \sqrt{x — 2\sqrt{x — 1}} = 6; \)
2) \( \sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} — \sqrt{x + 6 — 2\sqrt{x + 5}} = 2. \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x + 2\sqrt{x — 1}} + \sqrt{x — 2\sqrt{x — 1}} = 6; \)
Пусть \( y = \sqrt{x — 1} \), тогда:
\( y^2 = x — 1; \)
\( x = y^2 + 1; \)
Подставим значение \( y \):
\( \sqrt{y^2 + 1 + 2y} + \sqrt{y^2 + 1 — 2y} = 6; \)
\( (y + 1)^2 + (y — 1)^2 = 6; \)
\( |y + 1| + |y — 1| = 6; \)
Если \( y \geq 1 \), тогда:
\( (y + 1) + (y — 1) = 6; \)
\( 2y = 6; \)
\( y = 3; \)
Если \( -1 \leq y < 1 \), тогда:
\( (y + 1) — (y — 1) = 6; \)
\( 0y + 2 = 6; \)
\( 0y = 4; \)
\( y \in \emptyset; \)
Если \( y < -1 \), тогда:
\( -(y + 1) — (y — 1) = 6; \)
\( -2y = 6; \)
\( y = -3; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{x — 1} = 3; \)
\( x — 1 = 9; \)
\( x = 9 + 1 = 10; \)
Ответ: 10.
2) \( \sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} — \sqrt{x + 6 — 2\sqrt{x + 5}} = 2; \)
Пусть \( y = \sqrt{x + 5} \), тогда:
\( y^2 = x + 5; \)
\( x = y^2 — 5; \)
Подставим значение \( y \):
\( \sqrt{y^2 — 5 + 6 + 2y} — \sqrt{y^2 — 5 + 6 — 2y} = 2; \)
\( (y + 1)^2 — (y — 1)^2 = 2; \)
\( |y + 1| — |y — 1| = 2; \)
Если \( y \geq 1 \), тогда:
\( (y + 1) — (y — 1) = 2; \)
\( 0y + 2 = 2; \)
\( y = 0; \)
\( y \in \mathbb{R}; \)
Если \( -1 \leq y < 1 \), тогда:
\( (y + 1) + (y — 1) = 2; \)
\( y = 2; \)
Если \( y < -1 \), тогда:
\( -(y + 1) + (y — 1) = 2; \)
\( 0y — 2 = 2; \)
\( y = 4; \)
\( y \in \emptyset; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{x + 5} \geq 1; \)
\( x + 5 \geq 1; \)
\( x \geq -4; \)
Ответ: \( [-4; +\infty) \).
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x + 2\sqrt{x — 1}} + \sqrt{x — 2\sqrt{x — 1}} = 6; \)
Пусть \( y = \sqrt{x — 1} \), тогда:
\( y^2 = x — 1; \)
\( x = y^2 + 1; \)
Теперь подставим значение \( y \) в исходное уравнение:
\( \sqrt{y^2 + 1 + 2y} + \sqrt{y^2 + 1 — 2y} = 6; \)
Преобразуем выражения под корнями:
\( \sqrt{(y + 1)^2} + \sqrt{(y — 1)^2} = 6; \)
Из-за того, что обе величины представляют собой абсолютные значения, получаем:
\( |y + 1| + |y — 1| = 6; \)
Теперь рассмотрим различные случаи в зависимости от значения \( y \).
Случай 1: \( y \geq 1 \)
Если \( y \geq 1 \), то \( |y + 1| = y + 1 \) и \( |y — 1| = y — 1 \), и уравнение превращается в:
\( (y + 1) + (y — 1) = 6; \)
Упростим:
\( 2y = 6; \)
Таким образом, \( y = 3 \).
Случай 2: \( -1 \leq y < 1 \)
Если \( -1 \leq y < 1 \), то \( |y + 1| = y + 1 \) и \( |y — 1| = 1 — y \). Подставляем:
\( (y + 1) — (y — 1) = 6; \)
Решение:
\( 2 = 6; \)
Это невозможное равенство, следовательно, в данном диапазоне решений нет.
Случай 3: \( y < -1 \)
Если \( y < -1 \), то \( |y + 1| = -y — 1 \) и \( |y — 1| = -y + 1 \). Подставляем:
\( -(y + 1) — (y — 1) = 6; \)
Решаем:
\( -2y = 6; \)
\( y = -3 \).
Теперь возвращаемся к замене:
\( \sqrt{x — 1} = 3; \)
Возводим обе части в квадрат:
\( x — 1 = 9; \)
И, следовательно:
\( x = 10. \)
Ответ: \( x = 10 \).
2) \( \sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} — \sqrt{x + 6 — 2\sqrt{x + 5}} = 2; \)
Пусть \( y = \sqrt{x + 5} \), тогда:
\( y^2 = x + 5; \)
\( x = y^2 — 5; \)
Теперь подставим это выражение в уравнение:
\( \sqrt{y^2 — 5 + 6 + 2y} — \sqrt{y^2 — 5 + 6 — 2y} = 2; \)
Преобразуем:
\( \sqrt{(y + 1)^2} — \sqrt{(y — 1)^2} = 2; \)
Аналогично первому уравнению:
\( |y + 1| — |y — 1| = 2; \)
Теперь рассмотрим возможные значения \( y \).
Случай 1: \( y \geq 1 \)
Если \( y \geq 1 \), то \( |y + 1| = y + 1 \) и \( |y — 1| = y — 1 \), и уравнение примет вид:
\( (y + 1) — (y — 1) = 2; \)
Упростим:
\( 2 = 2; \)
Это верное равенство, следовательно, \( y \) может быть любым числом \( y \geq 1 \).
Случай 2: \( -1 \leq y < 1 \)
Если \( -1 \leq y < 1 \), то \( |y + 1| = y + 1 \) и \( |y — 1| = 1 — y \). Подставляем:
\( (y + 1) + (y — 1) = 2; \)
Решаем:
\( y = 2; \)
Случай 3: \( y < -1 \)
Если \( y < -1 \), то \( |y + 1| = -y — 1 \) и \( |y — 1| = -y + 1 \). Подставляем:
\( -(y + 1) + (y — 1) = 2; \)
Решаем:
\( 0y — 2 = 2; \)
\( y = 4; \)
\( y \in \emptyset; \)
Теперь возвращаемся к замене:
\( \sqrt{x + 5} \geq 1; \)
Возводим обе части в квадрат:
\( x + 5 \geq 1; \)
Решаем:
\( x \geq -4; \)
Ответ: \( x \in [-4; +\infty) \).
