Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \(\sqrt{(2x + 3)(x — 4)} = x — 4;\)
2) \(\sqrt{(x — 2)(2x — 5)} + 2 = x;\)
3) \((x + 2)\sqrt{x^2 — x — 20} = 6x + 12;\)
4) \((x + 1)\sqrt{x^2 — 5x + 5} = x + 1.\)
Решить уравнение:
1) \(\sqrt{(2x + 3)(x — 4)} = x — 4;\)
\((2x + 3)(x — 4) = (x — 4)^2;\)
Решение:
\(2x + 3 = x — 4;\)
\(2x — x = -4 — 3;\)
\(x = -7;\)
Одно из решений:
\(x — 4 = 0;\)
\(x = 4;\)
Выполним проверку:
\(-7 — 4 = -11 < 0;\)
Ответ: \(4.\)
2) \(\sqrt{(x — 2)(2x — 5)} + 2 = x;\)
\(\sqrt{(x — 2)(2x — 5)} = x — 2;\)
\((x — 2)(2x — 5) = (x — 2)^2;\)
Решение:
\(2x — 5 = x — 2;\)
\(2x — x = 5 — 2;\)
\(x = 3;\)
Одно из решений:
\(x — 2 = 0;\)
\(x = 2;\)
Выполним проверку:
\(\sqrt{(3 — 2)(2 \cdot 3 — 5)} + 2 — 3 = \sqrt{1 — 1} = 0;\)
Ответ: \(2; 3.\)
3) \((x + 2)\sqrt{x^2 — x — 20} = 6x + 12;\)
\((x + 2)\sqrt{x^2 — x — 20} = 6(x + 2);\)
\(\sqrt{x^2 — x — 20} = 6;\)
\(x^2 — x — 20 = 36;\)
\(x^2 — x — 56 = 0;\)
Решение:
\(D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225,\) тогда:
\(x_1 = \frac{1 — 15}{2} = -7\) и \(x_2 = \frac{1 + 15}{2} = 8;\)
Одно из решений:
\(x + 2 = 0;\)
\(x = -2;\)
Выполним проверку:
\(\sqrt{(-2)^2 — (-2) — 20} = \sqrt{4 — (-2) — 20} = \sqrt{14} < 0;\)
Ответ: \(-7; 8.\)
4) \((x + 1)\sqrt{x^2 — 5x + 5} = x + 1;\)
\(\sqrt{x^2 — 5x + 5} = 1;\)
\(x^2 — 5x + 5 = 1;\)
\(x^2 — 5x + 4 = 0;\)
Решение:
\(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,\) тогда:
\(x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;\)
Одно из решений:
\(x + 1 = 0;\)
\(x = -1;\)
Выполним проверку:
\(\sqrt{(-1)^2 \cdot 5 \cdot (-1) + 5} = \sqrt{11} > 0;\)
Ответ: \(\pm 1; 4.\)
Решить уравнение:
1) \(\sqrt{(2x + 3)(x — 4)} = x — 4;\)
Начнем с того, что извлекаем квадратный корень и раскроем скобки: \((2x + 3)(x — 4) = (x — 4)^2;\)
Теперь у нас есть выражение, которое можно упростить до: \(2x + 3 = x — 4;\)
Решаем его, вычитаем \(x\) с обеих сторон: \(2x — x = -4 — 3;\)
Получаем \(x = -7;\) — это первое решение.
Теперь найдем другое решение из уравнения \(x — 4 = 0;\), где очевидно, что \(x = 4;\)
Проверим оба решения. Для первого решения подставляем \(x = -7\) в исходное уравнение: \(\sqrt{(2 \cdot -7 + 3)(-7 — 4)} = -7 — 4\), что дает \(-11\), что меньше нуля. Это решение не подходит.
Для второго решения \(x = 4\), подставляем в исходное уравнение: \(\sqrt{(2 \cdot 4 + 3)(4 — 4)} = 4 — 4\), что дает обе стороны равными нулю. Это решение подходит.
Ответ: \(4\).
2) \(\sqrt{(x — 2)(2x — 5)} + 2 = x;\)
Переносим все на одну сторону, получаем: \(\sqrt{(x — 2)(2x — 5)} = x — 2;\)
Теперь раскрываем скобки и упрощаем: \((x — 2)(2x — 5) = (x — 2)^2;\)
Упростим это выражение: \(2x — 5 = x — 2;\)
Решая его, получаем: \(2x — x = 5 — 2;\)
Получаем \(x = 3;\) — это одно из решений.
Теперь найдем другое решение, подставляя \(x — 2 = 0;\), откуда \(x = 2;\)
Теперь проверим оба решения. Для \(x = 3\), подставляем в исходное уравнение: \(\sqrt{(3 — 2)(2 \cdot 3 — 5)} + 2 — 3 = \sqrt{1 — 1} = 0;\) что дает верный результат.
Для \(x = 2\), подставляем: \(\sqrt{(2 — 2)(2 \cdot 2 — 5)} + 2 — 2 = \sqrt{0} = 0;\) это также верно.
Ответ: \(2; 3\).
3) \((x + 2)\sqrt{x^2 — x — 20} = 6x + 12;\)
Раскроем скобки и приведем подобные: \((x + 2)\sqrt{x^2 — x — 20} = 6(x + 2);\)
Из этого получаем \(\sqrt{x^2 — x — 20} = 6;\)
Теперь решаем уравнение: \(x^2 — x — 20 = 36;\)
После упрощения: \(x^2 — x — 56 = 0;\)
Теперь находим дискриминант: \(D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225\);
Корни уравнения: \(x_1 = \frac{1 — 15}{2} = -7\) и \(x_2 = \frac{1 + 15}{2} = 8;\)
Теперь подставим \(x + 2 = 0;\), получаем \(x = -2;\)
Для проверки подставляем \(x = -2\) в исходное уравнение: \(\sqrt{(-2)^2 — (-2) — 20} = \sqrt{4 — (-2) — 20} = \sqrt{14} < 0;\) что не подходит.
Для \(x = 8\), подставляем в уравнение: \(\sqrt{8^2 — 8 — 20} = 6;\) что дает верный результат.
Ответ: \(-7; 8.\)
4) \((x + 1)\sqrt{x^2 — 5x + 5} = x + 1;\)
Переносим все на одну сторону: \(\sqrt{x^2 — 5x + 5} = 1;\)
Теперь решим уравнение \(x^2 — 5x + 5 = 1;\)
После упрощения получаем \(x^2 — 5x + 4 = 0;\)
Теперь находим дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,\) тогда:
Корни уравнения: \(x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;\)
Теперь проверим оба решения. Для \(x = 1\), подставляем в исходное уравнение: \(\sqrt{1^2 — 5 \cdot 1 + 5} = \sqrt{1} = 1;\) что верно.
Для \(x = 4\), подставляем в уравнение: \(\sqrt{4^2 — 5 \cdot 4 + 5} = \sqrt{1} = 1;\) что также верно.
Ответ: \(\pm 1; 4.\)
