ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\sqrt{(3x — 1)(4x + 3)} = 3x — 1;\)

2) \((x — 1)\sqrt{x^2 — 3x — 3} = 5x — 5;\)

Решить уравнение:

1) \(\sqrt{(3x — 1)(4x + 3)} = 3x — 1;\)

\((3x — 1)(4x + 3) = (3x — 1)^2;\)

Решение:

Раскрываем скобки: \(4x + 3 = 3x — 1;\)

Упрощаем: \(4x — 3x = -1 — 3;\)

Получаем: \(x = -4;\)

Одно из решений:

Подставляем \(3x — 1 = 0;\), получаем \(3x = 1;\)

Решение: \(x = \frac{1}{3};\)

Выполним проверку:

Для \(x = -4\), подставляем: \(3 \cdot (-4) — 1 = -13 < 0;\)

Ответ: \(\frac{1}{3}.\)

2) \((x — 1)\sqrt{x^2 — 3x — 3} = 5x — 5;\)

\((x — 1)\sqrt{x^2 — 3x — 3} = 5(x — 1);\)

\(\sqrt{x^2 — 3x — 3} = 5;\)

Теперь решим уравнение: \(x^2 — 3x — 3 = 25;\)

Получаем: \(x^2 — 3x — 28 = 0;\)

Решение:

Дискриминант: \(D = 3^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121,\) тогда:

Корни: \(x_1 = \frac{3 — 11}{2} = -4\) и \(x_2 = \frac{3 + 11}{2} = 7;\)

Одно из решений:

Подставляем \(x — 1 = 0;\), получаем \(x = 1;\)

Выполним проверку:

Для \(x = -4\), подставляем: \(\sqrt{(-4)^2 — 3 \cdot (-4) — 3} = \sqrt{16 + 12 — 3} = \sqrt{25} = 5;\)

Для \(x = 7\), подставляем: \(\sqrt{(7)^2 — 3 \cdot 7 — 3} = \sqrt{49 — 21 — 3} = \sqrt{25} = 5;\)

Ответ: \(-4; 7.\)

Решить уравнение:

1) \(\sqrt{(3x — 1)(4x + 3)} = 3x — 1;\)

Начнем с раскрытия скобок. Для этого возьмем исходное уравнение: \((3x — 1)(4x + 3) = (3x — 1)^2;\)

Раскрываем левую часть, получаем: \(3x \cdot 4x + 3x \cdot 3 — 1 \cdot 4x — 1 \cdot 3 = 12x^2 + 9x — 4x — 3 = 12x^2 + 5x — 3;\)

Теперь, раскрывая правую часть, получаем: \((3x — 1)^2 = (3x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 1 + (-1)^2 = 9x^2 — 6x + 1;\)

Таким образом, уравнение становится: \(12x^2 + 5x — 3 = 9x^2 — 6x + 1;\)

Теперь переносим все на одну сторону, получаем: \(12x^2 + 5x — 3 — 9x^2 + 6x — 1 = 0;\)

Упрощаем: \(3x^2 + 11x — 4 = 0;\)

Это квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся дискриминантом:

Дискриминант \(D = b^2 — 4ac = 11^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169;\)

Корни уравнения находим по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 \pm 13}{6};\)

Таким образом, получаем два корня: \(x_1 = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = \frac{-11 — 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4;\)

Одно из решений:

Подставляем \(3x — 1 = 0;\), получаем \(x = \frac{1}{3};\)

Теперь проверим оба решения. Для \(x = -4\), подставляем в исходное уравнение: \(3 \cdot (-4) — 1 = -13\), что меньше нуля. Это решение не подходит.

Для \(x = \frac{1}{3}\), подставляем в исходное уравнение и получаем: \(\sqrt{(3 \cdot \frac{1}{3} — 1)(4 \cdot \frac{1}{3} + 3)} = \frac{1}{3} — 1;\) обе стороны равны, следовательно, это решение верно.

Ответ: \(\frac{1}{3}.\)

2) \((x — 1)\sqrt{x^2 — 3x — 3} = 5x — 5;\)

Начнем с того, что переносим все на одну сторону, получаем: \(\sqrt{x^2 — 3x — 3} = 5;\)

Теперь избавляемся от квадратного корня, возводя обе части в квадрат: \(x^2 — 3x — 3 = 25;\)

После этого получаем: \(x^2 — 3x — 28 = 0;\)

Теперь решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта:

Дискриминант \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121;\)

Теперь находим корни уравнения по формуле: \(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 11}{2};\)

Корни: \(x_1 = \frac{3 — 11}{2} = -4\) и \(x_2 = \frac{3 + 11}{2} = 7;\)

Одно из решений:

Подставляем \(x — 1 = 0;\), получаем \(x = 1;\)

Теперь проверим оба решения. Для \(x = -4\), подставляем в исходное уравнение: \(\sqrt{(-4)^2 — 3 \cdot (-4) — 3} = \sqrt{16 + 12 — 3} = \sqrt{25} = 5;\)

Для \(x = 7\), подставляем в уравнение: \(\sqrt{(7)^2 — 3 \cdot 7 — 3} = \sqrt{49 — 21 — 3} = \sqrt{25} = 5;\)

Оба решения верны, следовательно, ответ: \(-4; 7.\)