Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 4} = 6 \)
2) \( \sqrt{2x + 3} \cdot \sqrt{x — 2} = 3 \)
3) \( \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 2} = 4 \)
4) \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 — x} = x \)
5) \( \frac{x — 2}{\sqrt{2x — 7}} = \sqrt{x — 4} \)
6) \( \sqrt{x — 9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x — 9}} \)
7) \( \sqrt{7 — x} + \frac{12}{\sqrt{7 — x}} = 2\sqrt{5x + 37} \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4} = 6 \)
\((x-1)(x+4) = 6^2;\)
\(x^2 + 4x — x — 4 = 36;\)
\(x^2 + 3x — 4 = 36;\)
\(x^2 + 3x — 40 = 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 40 = 9 + 160 = 169\), тогда:
\(x_1 = \frac{-3 — 13}{2} = -8\) и \(x_2 = \frac{-3 + 13}{2} = 5;\)
Выражение имеет смысл при:
\(x — 1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 1;\)
\(x + 4 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -4;\)
Ответ: 5.
2) \( \sqrt{2x + 3} \cdot \sqrt{x — 2} = 3 \)
\((2x + 3)(x — 2) = 3^2;\)
\(2x^2 — 4x + 3x — 6 = 9;\)
\(2x^2 — x — 6 = 9;\)
\(2x^2 — x — 15 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 15 = 1 + 120 = 121\), тогда:
\(x_1 = \frac{1 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2,5;\)
\(x_2 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3;\)
Выражение имеет смысл при:
\(2x + 3 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -1,5;\)
\(x — 2 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 2;\)
Ответ: 3.
3) \( \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 2} = 4 \)
\((x + 1)(x + 2) = 4^2;\)
\(x^2 + 2x + x + 2 = 16;\)
\(x^2 + 3x + 2 = 16;\)
\(x^2 + 3x — 14 = 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 14 = 9 + 56 = 65\), тогда:
\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{2};\)
Выражение имеет смысл при:
\(x + 1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -1;\)
\(x + 2 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -2;\)
Ответ: \(\frac{-3 + \sqrt{65}}{2}\).
4) \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x} = x \)
\(x(1-x) = x^2;\)
\(x — x^2 = x^2;\)
\(x — 2x^2 = 0;\)
\(x(1 — 2x) = 0;\)
\(x_1 = 0\) и \(x_2 = 0.5;\)
Уравнение имеет решения при:
\(x \ge 0;\)
\(1 — x \ge 0 \Longrightarrow x \le 1;\)
Ответ: 0; 0.5.
5) \( \frac{x-2}{\sqrt{2x-7}} = \sqrt{x-4} \)
\(\sqrt{2x-7} \cdot \sqrt{x-4} = x — 2;\)
\((2x-7)(x-4) = (x-2)^2;\)
\(2x^2 — 8x — 7x + 28 = x^2 — 4x + 4;\)
\(2x^2 — 15x + 28 = x^2 — 4x + 4;\)
\(x^2 — 11x + 24 = 0;\)
\(D = 11^2 — 4 \cdot 24 = 121 — 96 = 25\), тогда:
\(x_1 = \frac{11-5}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{11+5}{2} = 8;\)
Уравнение имеет решения при:
\(x — 2 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 2;\)
\(2x — 7 > 0 \Longrightarrow x > 3.5;\)
\(x — 4 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 4;\)
Ответ: 8.
6) \( \sqrt{x-9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x-9}} \)
\(\sqrt{x-9} \cdot \sqrt{x-9} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x-9} = 36;\)
\(x — 9 + \sqrt{x(x-9)} = 36;\)
\(\sqrt{x(x-9)} = 45 — x;\)
\(x(x-9) = (45-x)^2;\)
\(x^2 — 9x = 2025 — 90x + x^2;\)
\(81x = 2025;\)
\(x = \frac{2025}{81} = 25;\)
Уравнение имеет решения при:
\(x — 9 > 0 \Longrightarrow x > 9;\)
\(x \ge 0;\)
Ответ: 25.
\( \sqrt{7-x} \cdot \sqrt{7-x} + 12 = 2\sqrt{5x+37} \cdot \sqrt{7-x} \)
\( 7 — x + 12 = 2\sqrt{(5x + 37)(7 — x)} \)
\( 19 — x = 2\sqrt{(5x + 37)(7 — x)} \)
\( (19 — x)^2 = 4(5x + 37)(7 — x) \)
\( 361 — 38x + x^2 = 4(35x — 5x^2 + 259 — 37x) \)
\( 361 — 38x + x^2 = 1036 — 8x — 20x^2 \)
\( 21x^2 — 30x — 675 = 0 \) \( \big| :3 \)
\( 7x^2 — 10x — 225 = 0 \)
\( D = 10^2 + 4 \cdot 7 \cdot 225 = 100 + 6300 = 6400 \), тогда:
\( x_1 = \frac{10 — 80}{2 \cdot 7} = \frac{-70}{14} = -5; \)
\( x_2 = \frac{10 + 80}{2 \cdot 7} = \frac{90}{14} = \frac{45}{7} = 6 \frac{3}{7}; \)
Уравнение имеет решения при:
\( 7 — x > 0 \Longrightarrow x < 7; \)
\( 5x + 37 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -7,4; \)
Ответ: \( -5; \quad 6\frac{3}{7} \).
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4} = 6 \)
ОДЗ:
\(\quad x-1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 1\)
\(\quad x+4 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -4\)
Общее ОДЗ: \( x \ge 1 \)
Преобразуем уравнение:
\(\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4} = 6 \)
\(\sqrt{(x-1)(x+4)} = 6\)
Возводим обе части в квадрат:
\((x-1)(x+4) = 36\)
\(x^2 + 4x — x — 4 = 36\)
\(x^2 + 3x — 4 = 36\)
\(x^2 + 3x — 40 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169\)
\(x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 \pm 13}{2}\)
\(x_1 = \frac{-3 — 13}{2} = -8\),
\(x_2 = \frac{-3 + 13}{2} = 5\)
Проверяем ОДЗ:
\(x_1 = -8\) — не удовлетворяет \(x \ge 1\)
\(x_2 = 5\) — подходит
Ответ: 5
2) \( \sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x-2} = 3 \)
ОДЗ:
\(2x+3 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -1.5\)
\(x-2 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 2\)
Общее ОДЗ: \(x \ge 2\)
Преобразуем уравнение:
\(\sqrt{(2x+3)(x-2)} = 3\)
Возводим обе части в квадрат:
\((2x+3)(x-2) = 9\)
\(2x^2 — 4x + 3x — 6 = 9\)
\(2x^2 — x — 6 = 9\)
\(2x^2 — x — 15 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121\)
\(x_{1,2} = \frac{1 \pm 11}{4}\)
\(x_1 = \frac{1 — 11}{4} = -2.5\),
\(x_2 = \frac{1 + 11}{4} = 3\)
Проверяем ОДЗ:
\(x_1 = -2.5\) — не подходит
\(x_2 = 3\) — подходит
Ответ: 3
3) \( \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2} = 4 \)
ОДЗ:
\(x+1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -1\)
\(x+2 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -2\)
Общее ОДЗ: \(x \ge -1\)
Преобразуем уравнение:
\(\sqrt{(x+1)(x+2)} = 4\)
\((x+1)(x+2) = 16\)
\(x^2 + 2x + x + 2 = 16\)
\(x^2 + 3x + 2 = 16\)
\(x^2 + 3x — 14 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 9 + 56 = 65\)
\(x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{2}\)
Проверяем ОДЗ:
Только корень \(x = \frac{-3 + \sqrt{65}}{2}\) принадлежит \(x \ge -1\)
Ответ: \( \frac{-3 + \sqrt{65}}{2} \)
4) \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x} = x \)
ОДЗ:
\(x \ge 0\)
\(1-x \ge 0 \Longrightarrow x \le 1\)
Общее ОДЗ: \(0 \le x \le 1\)
Преобразуем уравнение:
\(\sqrt{x(1-x)} = x\)
Возводим обе части в квадрат:
\(x(1-x) = x^2\)
\(x — x^2 = x^2\)
\(x — 2x^2 = 0\)
\(x(1 — 2x) = 0\)
\(x_1 = 0\), \(x_2 = 0.5\)
Проверяем ОДЗ:
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 0; 0.5
5) \( \frac{x-2}{\sqrt{2x-7}} = \sqrt{x-4} \)
ОДЗ:
\(2x-7 > 0 \Longrightarrow x > 3.5\)
\(x-4 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 4\)
\(x-2 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 2\)
Общее ОДЗ: \(x \ge 4\)
Преобразуем уравнение:
\(\sqrt{2x-7} \cdot \sqrt{x-4} = x — 2\)
\(\sqrt{(2x-7)(x-4)} = x-2\)
Возводим обе части в квадрат:
\((2x-7)(x-4) = (x-2)^2\)
\(2x^2 — 8x — 7x + 28 = x^2 — 4x + 4\)
\(2x^2 — 15x + 28 = x^2 — 4x + 4\)
\(x^2 — 11x + 24 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(D = 11^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 — 96 = 25\)
\(x_{1,2} = \frac{11 \pm 5}{2}\)
\(x_1 = 3\), \(x_2 = 8\)
Проверяем ОДЗ:
\(x_1 = 3\) — не подходит
\(x_2 = 8\) — подходит
Ответ: 8
6) \( \sqrt{x-9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x-9}} \)
ОДЗ:
\(x-9 > 0 \Longrightarrow x > 9\)
\(x \ge 0\)
Преобразуем уравнение:
Умножим обе части на \(\sqrt{x-9}\):
\(x-9 + \sqrt{x(x-9)} = 36\)
\(\sqrt{x(x-9)} = 45 — x\)
Возводим обе части в квадрат:
\(x(x-9) = (45 — x)^2\)
\(x^2 — 9x = 2025 — 90x + x^2\)
\(81x = 2025\)
\(x = 25\)
Проверяем ОДЗ:
\(25 > 9\), \(25 \ge 0\) — подходит
Ответ: 25
7) \( \sqrt{7-x} + \frac{12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37} \)
ОДЗ:
\(7-x > 0 \Longrightarrow x < 7\)
\(5x+37 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -7.4\)
\(\sqrt{7-x} \neq 0 \Longrightarrow x \neq 7\)
Преобразуем уравнение:
\(\sqrt{7-x} + \frac{12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}\)
Домножаем на \(\sqrt{7-x}\):
\(7-x + 12 = 2\sqrt{(5x+37)(7-x)}\)
\(19-x = 2\sqrt{(5x+37)(7-x)}\)
Возводим обе части в квадрат:
\((19-x)^2 = 4(5x+37)(7-x)\)
\(361 — 38x + x^2 = 4(35x — 5x^2 + 259 — 37x)\)
\(361 — 38x + x^2 = 1036 — 8x — 20x^2\)
\(21x^2 — 30x — 675 = 0\)
\(7x^2 — 10x — 225 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(D = 10^2 + 4 \cdot 7 \cdot 225 = 100 + 6300 = 6400\)
\(x_1 = \frac{10 — 80}{14} = -5\)
\(x_2 = \frac{10 + 80}{14} = \frac{90}{14} = \frac{45}{7} = 6 \frac{3}{7}\)
Проверяем ОДЗ:
Оба корня подходят.
Ответ: \(-5;\;\; 6 \frac{3}{7}\)
