Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( (x^2 + 3x)^2 — 2(x^2 + 3x) — 8 = 0; \)
2) \( (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12; \)
3) \( \frac{x — 1}{x} — \frac{3x}{2(x — 1)} = -\frac{5}{2}; \)
4) \( \frac{x^2}{(2x + 3)^2} — \frac{3x}{2x + 3} + 2 = 0. \)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( (x^2 + 3x)^2 — 2(x^2 + 3x) — 8 = 0; \)
Пусть \( y = x^2 + 3x \), тогда:
\( y^2 — 2y — 8 = 0; \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \) тогда:
\( y_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \), \( y_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4; \)
Первое значение:
\( x^2 + 3x = -2; \)
\( x^2 + 3x + 2 = 0; \)
\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1; \)
Второе значение:
\( x^2 + 3x = 4; \)
\( x^2 + 3x — 4 = 0; \)
\( D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \), \( x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1; \)
Ответ: \( -4; -2; -1; 1. \)
2) \( (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12; \)
Пусть \( y = x^2 + x + 1 \), тогда:
\( y(y + 1) = 12; \)
\( y^2 + y — 12 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \), \( y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3; \)
Первое значение:
\( x^2 + x + 1 = -4; \)
\( x^2 + x + 5 = 0; \)
\( D = 1^2 — 4 \cdot 5 = 1 — 20 = -19; \)
\( D < 0 \), значит \( x \in \emptyset; \).
Второе значение:
\( x^2 + x + 1 = 3; \)
\( x^2 + x — 2 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1; \)
Ответ: \( -2; 1. \)
3) \( \frac{x — 1}{x} — \frac{3x}{2(x — 1)} = -\frac{5}{2}; \)
Пусть \( y = \frac{x — 1}{x} \), тогда:
\( y — \frac{3}{y} = -\frac{5}{2} \)
\( y — \frac{3}{y} = -\frac{5}{2} \) \( \big| \cdot 2y \)
\( 2y^2 — 3 = -5y; \)
\( 2y^2 + 5y — 3 = 0; \)
\( D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49, \) тогда:
\( y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3; \)
\( y_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}; \)
Первое значение:
\( x — 1 = -3x; \)
\( x + 3x = 1; \)
\( 4x = 1; \)
\( x = \frac{1}{4} = 0.25; \)
Второе значение:
\( x — 1 = \frac{1}{2}x; \)
\( 2(x — 1) = x; \)
\( 2x — 2 = x; \)
\( 2x — x = 2; \)
\( x = 2; \)
Ответ: \( 0.25; \; 2. \)
4) \( \frac{x^2}{(2x + 3)^2} — \frac{3x}{2x + 3} + 2 = 0; \)
Пусть \( y = \frac{x}{2x + 3} \), тогда уравнение принимает вид:
\( y^2 — 3y + 2 = 0; \)
Дискриминант:
\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1; \)
Решения:
\( y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1; \)
\( y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)
Первое значение:
\( \frac{x}{2x + 3} = 1; \)
\( x = 2x + 3; \)
\( x — 2x = 3; \)
\( -x = 3; \)
\( x = -3; \)
Второе значение:
\( \frac{x}{2x + 3} = 2; \)
\( x = 2(2x + 3); \)
\( x = 4x + 6; \)
\( x — 4x = 6; \)
\( -3x = 6; \)
\( x = \frac{6}{-3} = -2; \)
Ответ: \( -3; \; -2. \)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) \( (x^2 + 3x)^2 — 2(x^2 + 3x) — 8 = 0 \)
Пусть \( y = x^2 + 3x \), тогда исходное уравнение примет вид:
\( y^2 — 2y — 8 = 0 \)
Это квадратное уравнение относительно \( y \):
Дискриминант:
\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)
Находим корни:
\( y_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \),
\( y_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)
Рассмотрим оба случая.
Если \( y = -2 \):
\( x^2 + 3x = -2 \)
\( x^2 + 3x + 2 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2 \),
\( x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \)
Если \( y = 4 \):
\( x^2 + 3x = 4 \)
\( x^2 + 3x — 4 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
Корни:
\( x_3 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \),
\( x_4 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \)
Ответ: \( -4; -2; -1; 1 \)
2) \( (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12 \)
Пусть \( y = x^2 + x + 1 \), тогда:
\( y(y + 1) = 12 \)
\( y^2 + y — 12 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \)
Корни:
\( y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \),
\( y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \)
Рассмотрим оба случая.
Если \( y = -4 \):
\( x^2 + x + 1 = -4 \)
\( x^2 + x + 5 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 — 20 = -19 \)
Корней нет, так как дискриминант меньше нуля, \( x \in \emptyset \).
Если \( y = 3 \):
\( x^2 + x + 1 = 3 \)
\( x^2 + x — 2 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \),
\( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)
Ответ: \( -2; 1 \)
3) \( \frac{x — 1}{x} — \frac{3x}{2(x — 1)} = -\frac{5}{2} \)
Пусть \( y = \frac{x — 1}{x} \), выразим \( x \) через \( y \):
\( x — 1 = yx \Rightarrow x — yx = 1 \Rightarrow x(1 — y) = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{1 — y} \)
Подставляем переменную в исходное уравнение:
\( y — \frac{3}{y} = -\frac{5}{2} \)
Домножаем на \( 2y \):
\( 2y^2 — 3 = -5y \Rightarrow 2y^2 + 5y — 3 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \)
Корни:
\( y_1 = \frac{-5 — 7}{4} = -3 \),
\( y_2 = \frac{-5 + 7}{4} = 0.5 \)
Для \( y_1 = -3 \):
\( x — 1 = -3x \Rightarrow x + 3x = 1 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = 0.25 \)
Для \( y_2 = 0.5 \):
\( x — 1 = 0.5x \Rightarrow x — 0.5x = 1 \Rightarrow 0.5x = 1 \Rightarrow x = 2 \)
Ответ: \( 0.25; 2 \)
4) \( \frac{x^2}{(2x + 3)^2} — \frac{3x}{2x + 3} + 2 = 0 \)
Пусть \( y = \frac{x}{2x + 3} \), тогда:
\( y^2 — 3y + 2 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \)
Корни:
\( y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \),
\( y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)
Для \( y_1 = 1 \):
\( \frac{x}{2x + 3} = 1 \Rightarrow x = 2x + 3 \Rightarrow -x = 3 \Rightarrow x = -3 \)
Для \( y_2 = 2 \):
\( \frac{x}{2x + 3} = 2 \Rightarrow x = 2(2x + 3) \Rightarrow x = 4x + 6 \Rightarrow -3x = 6 \Rightarrow x = -2 \)
Ответ: \( -3; -2 \)
