Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x+8} = 4; \)
2) \( x — 1 = \sqrt{2x — 5} \cdot \sqrt{x+1}; \)
3) \( \frac{x+3}{\sqrt{x-1}} = \sqrt{3x+1}; \)
4) \( \frac{12}{\sqrt{x+10}} — \sqrt{2x+3} = \sqrt{x+10}. \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x+8} = 4 \)
\((x+2)(x+8) = 4^2;\)
\(x^2 + 8x + 2x + 16 = 16;\)
\(x^2 + 10x = 0;\)
\((x+10)x = 0;\)
\(x_1 = -10\), \(x_2 = 0;\)
Выражение имеет смысл при:
\(x+2 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -2;\)
\(x+8 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -8;\)
Ответ: 0.
2) \( x — 1 = \sqrt{2x — 5} \cdot \sqrt{x + 1} \)
\((x-1)^2 = (2x-5)(x+1);\)
\(x^2 — 2x + 1 = 2x^2 + 2x — 5x — 5;\)
\(x^2 — 2x + 1 = 2x^2 — 3x — 5;\)
\(x^2 — x — 6 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25;\)
\(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2,\) \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;\)
Уравнение имеет решения при:
\(x — 1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 1;\)
\(2x — 5 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 2.5;\)
\(x + 1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -1;\)
Ответ: 3.
3) \( \frac{x + 3}{\sqrt{x — 1}} = \sqrt{3x + 1} \)
\((x + 3)^2 = (3x + 1)(x — 1)\)
\(x^2 + 6x + 9 = 3x^2 — 3x + x — 1\)
\(x^2 + 6x + 9 = 3x^2 — 2x — 1\)
\(x^2 + 6x + 9 — 3x^2 + 2x + 1 = 0\)
\(-2x^2 + 8x + 10 = 0\)
\(2x^2 — 8x — 10 = 0 \; \big/ :2\)
\(x^2 — 4x — 5 = 0\)
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)
\(x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{2}\)
\(x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5\)
Уравнение имеет решения при:
\(x + 3 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -3;\)
\(x — 1 > 0 \Longrightarrow x > 1;\)
\(3x + 1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -\frac{1}{3};\)
Ответ: 5.
4) \( \frac{12}{\sqrt{x + 10}} — \sqrt{2x + 3} = \sqrt{x + 10} \)
\(12 — \sqrt{2x + 3} \cdot \sqrt{x + 10} = x + 10\)
\(12 — (x + 10) = \sqrt{(2x + 3)(x + 10)}\)
\(2 — x = \sqrt{(2x + 3)(x + 10)}\)
\((2 — x)^2 = (2x + 3)(x + 10)\)
\(4 — 4x + x^2 = 2x^2 + 20x + 3x + 30\)
\(4 — 4x + x^2 = 2x^2 + 23x + 30\)
\(x^2 — 2x^2 — 4x — 23x + 4 — 30 = 0\)
\(-x^2 — 27x — 26 = 0\)
\(x^2 + 27x + 26 = 0\)
\(D = 27^2 — 4 \cdot 1 \cdot 26 = 729 — 104 = 625\)
\(x_{1,2} = \frac{-27 \pm 25}{2}\)
\(x_1 = \frac{-27 + 25}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{-27 — 25}{2} = -26\)
Уравнение имеет решения при:
\(x + 10 > 0 \Longrightarrow x > -10;\)
\(2x + 3 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -1.5;\)
Ответ: -1.
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x+8} = 4 \)
1. Область допустимых значений (ОДЗ):
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
\(x+2 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -2;\)
\(x+8 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -8;\)
Совместное ОДЗ: \(x \ge -2\)
2. Решение уравнения:
\(\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x+8} = 4\)
\(\sqrt{(x+2)(x+8)} = 4\)
Возводим обе части в квадрат:
\((x+2)(x+8) = 4^2\)
\(x^2 + 8x + 2x + 16 = 16\)
\(x^2 + 10x + 16 = 16\)
\(x^2 + 10x = 0\)
\(x(x + 10) = 0\)
3. Находим корни:
\(x_1 = 0\), \(x_2 = -10\)
4. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ:
\(x_1 = 0\) — подходит (\(0 \ge -2\))
\(x_2 = -10\) — не подходит (\(-10 < -2\))
Ответ: 0.
2) \( x — 1 = \sqrt{2x — 5} \cdot \sqrt{x + 1} \)
1. ОДЗ:
\(x — 1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 1;\)
\(2x — 5 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 2.5;\)
\(x + 1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -1;\)
Совместное ОДЗ: \(x \ge 2.5\)
2. Решение уравнения:
Возведём обе части в квадрат:
\((x-1)^2 = (2x-5)(x+1)\)
\(x^2 — 2x + 1 = 2x^2 + 2x — 5x — 5\)
\(x^2 — 2x + 1 = 2x^2 — 3x — 5\)
\(x^2 — x — 6 = 0\)
3. Дискриминант и корни:
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 + 24 = 25\)
\(x_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2}\)
\(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\)
\(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\)
4. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ:
\(x_1 = -2\) — не подходит (\(-2 < 2.5\))
\(x_2 = 3\) — подходит (\(3 \ge 2.5\))
Ответ: 3.
3) \( \frac{x + 3}{\sqrt{x — 1}} = \sqrt{3x + 1} \)
1. ОДЗ:
\(x + 3 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -3;\)
\(x — 1 > 0 \Longrightarrow x > 1;\)
\(3x + 1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -\frac{1}{3};\)
Совместное ОДЗ: \(x > 1\)
2. Решение уравнения:
\(x + 3 = \sqrt{3x + 1} \cdot \sqrt{x — 1}\)
\((x + 3)^2 = (3x + 1)(x — 1)\)
\(x^2 + 6x + 9 = 3x^2 — 3x + x — 1\)
\(x^2 + 6x + 9 = 3x^2 — 2x — 1\)
Переносим все в одну сторону:
\(x^2 + 6x + 9 — 3x^2 + 2x + 1 = 0\)
\(-2x^2 + 8x + 10 = 0\)
\(2x^2 — 8x — 10 = 0\)
Делим на 2:
\(x^2 — 4x — 5 = 0\)
3. Дискриминант и корни:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)
\(x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{2}\)
\(x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1\)
\(x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5\)
4. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ:
\(x_1 = -1\) — не подходит (\(-1 \not> 1\))
\(x_2 = 5\) — подходит (\(5 > 1\))
Ответ: 5.
4) \( \frac{12}{\sqrt{x + 10}} — \sqrt{2x + 3} = \sqrt{x + 10} \)
1. ОДЗ:
\(x + 10 > 0 \Longrightarrow x > -10;\)
\(2x + 3 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -1.5;\)
Совместное ОДЗ: \(x > -10,\, x \ge -1.5 \Longrightarrow x \ge -1.5\)
2. Решение уравнения:
\( \frac{12}{\sqrt{x+10}} — \sqrt{2x+3} = \sqrt{x+10} \)
Переносим все в одну сторону:
\( 12 — \sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x+10} = x+10 \)
\( 12 — (x + 10) = \sqrt{(2x+3)(x+10)} \)
\( 2 — x = \sqrt{(2x+3)(x+10)} \)
Возводим обе части в квадрат:
\( (2 — x)^2 = (2x+3)(x+10) \)
\( 4 — 4x + x^2 = 2x^2 + 20x + 3x + 30 \)
\( 4 — 4x + x^2 = 2x^2 + 23x + 30 \)
\( x^2 — 2x^2 — 4x — 23x + 4 — 30 = 0 \)
\( -x^2 — 27x — 26 = 0 \)
\( x^2 + 27x + 26 = 0 \)
3. Дискриминант и корни:
\( D = 27^2 — 4 \cdot 1 \cdot 26 = 729 — 104 = 625 \)
\( x_{1,2} = \frac{-27 \pm 25}{2} \)
\( x_1 = \frac{-27 + 25}{2} = -1 \)
\( x_2 = \frac{-27 — 25}{2} = -26 \)
4. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ:
\(x_1 = -1\) — подходит (\(-1 > -10\), \(-1 \ge -1.5\))
\(x_2 = -26\) — не подходит (\(-26 < -10\))
Ответ: -1.
