Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{4 + 2x — x^2} = x — 2 \)
2) \( \sqrt{6 — 4x — x^2} = x + 4 \)
3) \( \sqrt{x^2 + 8} = 2x + 1 \)
4) \( \sqrt{2x^2 — 7x + 5} = 1 — x \)
5) \( \sqrt{x} = x — 1 \)
6) \( \sqrt{x^2 — 1} = 3 — 2x \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{4 + 2x — x^2} = x — 2; \)
\( 4 + 2x — x^2 = x^2 — 4x + 4; \)
\( 2x^2 — 6x = 0; \)
\( 2x(x — 3) = 0; \)
\( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 3; \)
Уравнение имеет решения при:
\( x — 2 \ge 0; \)
\( x \ge 2; \)
Ответ: 3.
2) \( \sqrt{6 — 4x — x^2} = x + 4; \)
\( 6 — 4x — x^2 = x^2 + 8x + 16; \)
\( 2x^2 + 12x + 10 = 0 \quad | : 2; \)
\( x^2 + 6x + 5 = 0; \)
\( D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-6 — 4}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1; \)
Уравнение имеет решения при:
\( x + 4 \ge 0; \)
\( x \ge -4; \)
Ответ: -1.
3) \( \sqrt{x^2 + 8} = 2x + 1; \)
\( x^2 + 8 = 4x^2 + 4x + 1; \)
\( 3x^2 + 4x — 7 = 0; \)
\( D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 + 84 = 100, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-4 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} = -2 \frac{1}{3}; \)
\( x_2 = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1; \)
Уравнение имеет решения при:
\( 2x + 1 \ge 0; \)
\( 2x \ge -1; \)
\( x \ge -0.5; \)
Ответ: 1.
4) \( \sqrt{2x^2 — 7x + 5} = 1 — x; \)
\( 2x^2 — 7x + 5 = 1 — 2x + x^2; \)
\( x^2 — 5x + 4 = 0; \)
\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \) тогда:
\( x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4; \)
Уравнение имеет решения при:
\( 1 — x \ge 0; \)
\( x \le 1; \)
Ответ: 1.
5) \( \sqrt{x} = x — 1; \)
\( x = x^2 — 2x + 1; \)
\( x^2 — 3x + 1 = 0; \)
\( D = 3^2 — 4 = 9 — 4 = 5, \) тогда:
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}; \)
Уравнение имеет решения при:
\( x — 1 \ge 0; \)
\( x \ge 1; \)
Ответ: \( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \).
6) \( \sqrt{x^2 — 1} = 3 — 2x; \)
\( x^2 — 1 = 9 — 12x + 4x^2; \)
\( 3x^2 — 12x + 10 = 0; \)
\( D = 12^2 — 4 \cdot 3 \cdot 10 = 144 — 120 = 24, \) тогда:
\( x = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}; \)
Уравнение имеет решения при:
\( 3 — 2x \ge 0; \)
\( 2x \le 3; \)
\( x \le 1.5; \)
Ответ: \( \frac{6 — \sqrt{6}}{3} \).
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{4 + 2x — x^2} = x — 2 \)
Область допустимых значений (ОДЗ):
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно и правая часть неотрицательна:
\(4 + 2x — x^2 \geq 0\), \(x — 2 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 2\).
Решение:
Возводим обе части в квадрат:
\(\left(\sqrt{4 + 2x — x^2}\right)^2 = (x — 2)^2\)
\(4 + 2x — x^2 = x^2 — 4x + 4\)
Переносим всё в одну часть:
\(4 + 2x — x^2 — x^2 + 4x — 4 = 0\)
\(2x^2 — 6x = 0\)
\(2x(x — 3) = 0\)
\(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\)
Проверяем корни на ОДЗ:
\(x_1 = 0\) не удовлетворяет \(x \geq 2\),
\(x_2 = 3\) подходит.
Ответ: 3.
2) \( \sqrt{6 — 4x — x^2} = x + 4 \)
ОДЗ:
\(6 — 4x — x^2 \geq 0\), \(x + 4 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -4\)
Решение:
Возводим обе части в квадрат:
\(6 — 4x — x^2 = (x + 4)^2\)
\(6 — 4x — x^2 = x^2 + 8x + 16\)
Переносим всё в одну часть:
\(6 — 4x — x^2 — x^2 — 8x — 16 = 0\)
\(2x^2 + 12x + 10 = 0\)
Делим на 2:
\(x^2 + 6x + 5 = 0\)
Вычисляем дискриминант:
\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\)
Находим корни:
\(x_1 = \frac{-6 — 4}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1\)
Проверяем на ОДЗ:
\(x_1 = -5 < -4\) — не подходит.
\(x_2 = -1 \geq -4\) — подходит.
Ответ: -1.
3) \( \sqrt{x^2 + 8} = 2x + 1 \)
ОДЗ:
\(x^2 + 8 \geq 0\) (всегда верно для всех \(x\)), \(2x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -0.5\)
Решение:
Возводим обе части в квадрат:
\(x^2 + 8 = (2x + 1)^2\)
\(x^2 + 8 = 4x^2 + 4x + 1\)
Переносим всё в одну часть:
\(x^2 + 8 — 4x^2 — 4x — 1 = 0\)
\(-3x^2 — 4x + 7 = 0\)
\(3x^2 + 4x — 7 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 + 84 = 100\)
Находим корни:
\(x_{1,2} = \frac{-4 \pm 10}{2 \cdot 3}\)
\(x_1 = \frac{-4 — 10}{6} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}\)
\(x_2 = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1\)
Проверяем ОДЗ:
\(x_1 = -\frac{7}{3} \approx -2.33 < -0.5\) — не подходит.
\(x_2 = 1 \geq -0.5\) — подходит.
Ответ: 1.
4) \( \sqrt{2x^2 — 7x + 5} = 1 — x \)
ОДЗ:
\(2x^2 — 7x + 5 \geq 0\), \(1 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 1\)
Решение:
Возводим обе части в квадрат:
\(2x^2 — 7x + 5 = (1 — x)^2 = 1 — 2x + x^2\)
Переносим всё в одну часть:
\(2x^2 — 7x + 5 — 1 + 2x — x^2 = 0\)
\(x^2 — 5x + 4 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\)
Корни:
\(x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\)
Проверяем ОДЗ:
\(x_1 = 1\) — подходит (\(1 \leq 1\))
\(x_2 = 4 > 1\) — не подходит.
Ответ: 1.
5) \( \sqrt{x} = x — 1 \)
ОДЗ:
\(x \geq 0\), \(x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 1\)
Решение:
Возводим обе части в квадрат:
\(x = (x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1\)
\(x — x^2 + 2x — 1 = 0\)
\(-x^2 + 3x — 1 = 0\)
\(x^2 — 3x + 1 = 0\)
Дискриминант:
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 — 4 = 5\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Проверяем ОДЗ:
Только \(x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \geq 1\) подходит.
Ответ: \( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \).
6) \( \sqrt{x^2 — 1} = 3 — 2x \)
ОДЗ:
\(x^2 — 1 \geq 0 \Longrightarrow |x| \geq 1\), \(3 — 2x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 1.5\)
Решение:
Возводим обе части в квадрат:
\(x^2 — 1 = (3 — 2x)^2 = 9 — 12x + 4x^2\)
\(x^2 — 1 — 9 + 12x — 4x^2 = 0\)
\(-3x^2 + 12x — 10 = 0\)
\(3x^2 — 12x + 10 = 0\)
Дискриминант:
\(D = (-12)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 10 = 144 — 120 = 24\)
\(x = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}\)
Проверяем ОДЗ:
Только \(x = \frac{6 — \sqrt{6}}{3}\) удовлетворяет \(x \leq 1.5\) и \(|x| \geq 1\)
Ответ: \( \frac{6 — \sqrt{6}}{3} \).
