Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x^2 — 4x + 13} = \frac{1}{2}x + 2 \);
2) \( \sqrt{2x^2 + 8x + 7} — 2 = x; \)
3) \( \sqrt{x + 2} = 1 — x. \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x^2 — 4x + 13} = \frac{1}{2}x + 2; \)
\( x^2 — 4x + 13 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4; \)
\( x^2 — 4x + 13 — \frac{1}{4}x^2 — 2x — 4 = 0; \)
\( x^2 — \frac{1}{4}x^2 — 4x — 2x + 13 — 4 = 0; \)
\( \frac{3}{4}x^2 — 6x + 9 = 0 \quad | \cdot \frac{4}{3}; \)
\( x^2 — 8x + 12 = 0; \)
\( D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16, \) тогда:
\( x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6; \)
Уравнение имеет решения при:
\( \frac{1}{2}x + 2 \ge 0 \Longrightarrow 0.5x \ge -2 \Longrightarrow x \ge -4; \)
Ответ: 2; 6.
2) \( \sqrt{2x^2 + 8x + 7} — 2 = x; \)
\( \sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2; \)
\( 2x^2 + 8x + 7 = x^2 + 4x + 4; \)
\( 2x^2 + 8x + 7 — x^2 — 4x — 4 = 0; \)
\( x^2 + 4x + 3 = 0; \)
\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1; \)
Уравнение имеет решения при:
\( x + 2 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -2; \)
Ответ: -1.
3) \( \sqrt{x + 2} = 1 — x; \)
\( x + 2 = 1 — 2x + x^2; \)
\( x^2 — 3x — 1 = 0; \)
\( D = 3^2 + 4 = 9 + 4 = 13, \) тогда:
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}; \)
Уравнение имеет решения при:
\( 1 — x \geq 0; \)
\( x \leq 1; \)
Ответ: \( \frac{3 — \sqrt{13}}{2} \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x^2 — 4x + 13} = \frac{1}{2}x + 2 \)
Область допустимых значений (ОДЗ):
Правая часть уравнения также должна быть неотрицательна, так как равна корню:
\( \frac{1}{2}x + 2 \geq 0 \Longrightarrow 0.5x \geq -2 \Longrightarrow x \geq -4 \).
Решение:
1. Возводим обе части уравнения в квадрат (так как обе стороны при ОДЗ неотрицательны):
\(\left(\sqrt{x^2 — 4x + 13}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}x + 2\right)^2\)
\(x^2 — 4x + 13 = \left(\frac{1}{2}x + 2\right)^2\)
2. Раскрываем квадрат суммы справа:
\(\left(\frac{1}{2}x + 2\right)^2 = \left(\frac{1}{2}x\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot 2 + 2^2 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4\)
3. Подставляем:
\(x^2 — 4x + 13 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4\)
4. Переносим всё в одну часть:
\(x^2 — 4x + 13 — \frac{1}{4}x^2 — 2x — 4 = 0\)
\(x^2 — \frac{1}{4}x^2 — 4x — 2x + 13 — 4 = 0\)
\(x^2 — \frac{1}{4}x^2 = \frac{3}{4}x^2\), \(-4x — 2x = -6x\), \(13 — 4 = 9\)
Получаем:
\(\frac{3}{4}x^2 — 6x + 9 = 0\)
5. Умножаем обе части уравнения на 4/3 для избавления от дроби:
\(x^2 — 8x + 12 = 0\)
6. Находим дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16\)
7. Корни:
\(x_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{2} \Longrightarrow x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2,\; x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6\)
8. Проверяем ОДЗ:
\(x_1 = 2 \geq -4\), \(x_2 = 6 \geq -4\) — оба корня подходят.
Ответ: 2; 6.
2) \( \sqrt{2x^2 + 8x + 7} — 2 = x \)
ОДЗ:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а также \(x + 2 \geq 0\) (см. после преобразований).
Решение:
1. Переносим 2 в правую часть:
\(\sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2\)
2. Возводим обе части в квадрат:
\(2x^2 + 8x + 7 = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\)
3. Переносим всё в одну часть:
\(2x^2 + 8x + 7 — x^2 — 4x — 4 = 0\)
\(x^2 + 4x + 3 = 0\)
4. Дискриминант:
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\)
5. Корни:
\(x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \Longrightarrow x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3;\; x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1\)
6. Проверяем ОДЗ:
\(x + 2 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -2\)
Подходит только \(x_2 = -1\), так как \(x_1 = -3 < -2\).
Ответ: -1.
3) \( \sqrt{x + 2} = 1 — x \)
ОДЗ:
\(x + 2 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -2\)
\(1 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 1\)
Решение:
1. Возводим обе части в квадрат:
\(x + 2 = (1 — x)^2 = 1 — 2x + x^2\)
2. Переносим всё в одну часть:
\(x + 2 — 1 + 2x — x^2 = 0\)
\(-x^2 + 3x + 1 = 0 \Longrightarrow x^2 — 3x — 1 = 0\)
3. Дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13\)
4. Корни:
\(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)
5. Проверяем ОДЗ:
\(x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\) — явно больше 1, не подходит.
\(x_2 = \frac{3 — \sqrt{13}}{2}\) — подходит, так как \(x_2 \leq 1\).
Ответ: \( \frac{3 — \sqrt{13}}{2} \)
