Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x + 6} — \sqrt{x + 1} = 2; \)
2) \( \sqrt{x + 5} — \sqrt{x} = 1; \)
3) \( \sqrt{x — 5} — \sqrt{9 — x} = 1; \)
4) \( \sqrt{2x + 5} = 8 — \sqrt{x — 1}; \)
5) \( \sqrt{x + 5} + \sqrt{5 — x} = 4; \)
6) \( \sqrt{3x — 1} + \sqrt{x + 3} = 2; \)
7) \( \sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x — \sqrt{x + 11}} = 4. \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x + 6} — \sqrt{x + 1} = 2; \)
\( \sqrt{2x + 6} = 2 + \sqrt{x + 1}; \)
\( 2x + 6 = 4 + 4\sqrt{x + 1} + (x + 1); \)
\( 2x + 6 = 4 + x + 1 + 4\sqrt{x + 1}; \)
\( 2x + 6 = x + 5 + 4\sqrt{x + 1}; \)
\( x + 1 = 4\sqrt{x + 1}; \)
\( (x + 1)^2 = 16(x + 1); \)
\( x^2 + 2x + 1 = 16x + 16; \)
\( x^2 — 14x — 15 = 0; \)
\( D = 14^2 + 4 \cdot 15 = 196 + 60 = 256, \) тогда:
\( x_1 = \frac{14 — 16}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{14 + 16}{2} = 15; \)Уравнение имеет решения при:
\( 2x + 6 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -3; \)
\( x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -1; \)
Ответ: -1; 15.
2) \( \sqrt{x + 5} — \sqrt{x} = 1; \)
\( \sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}; \)
\( x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x; \)
\( x + 5 = x + 1 + 2\sqrt{x}; \)
\( 4 = 2\sqrt{x}; \)
\( \sqrt{x} = 2; \)
\( x = 2^2 = 4; \)Уравнение имеет решения при:
\( x + 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -5; \)
\( x \geq 0; \)
Ответ: 4.
3) \( \sqrt{x — 5} — \sqrt{9 — x} = 1; \)
\( \sqrt{x — 5} = 1 + \sqrt{9 — x}; \)
\( x — 5 = 1 + 2\sqrt{9 — x} + (9 — x); \)
\( x — 5 = 1 + 2\sqrt{9 — x} + 9 — x; \)
\( x — 5 — 1 — 9 + x = 2\sqrt{9 — x}; \)
\( 2x — 15 = 2\sqrt{9 — x}; \)
\( (2x — 15)^2 = 4(9 — x); \)
\( 4x^2 — 60x + 225 = 36 — 4x; \)
\( 4x^2 — 60x + 225 + 4x — 36 = 0; \)
\( 4x^2 — 56x + 189 = 0; \)
\( D = 56^2 — 4 \cdot 4 \cdot 189 = 3136 — 3024 = 112; \)
\( x = \frac{56 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 4} = \frac{56 \pm 4\sqrt{7}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{7}}{2}; \)
Уравнение имеет решения при:
\( x — 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 5; \)
\( 9 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 9; \)
\( 2x — 15 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 7.5; \)
Подходит только \( x = \frac{14 + \sqrt{7}}{2} \).
Ответ: \( \frac{14 + \sqrt{7}}{2} \).
4) \( \sqrt{2x + 5} = 8 — \sqrt{x — 1} \)
\( \sqrt{2x + 5} + \sqrt{x — 1} = 8 \)
\( (2x + 5) + 2\sqrt{(2x + 5)(x — 1)} + (x — 1) = 64 \)
\( 2\sqrt{(2x + 5)(x — 1)} = 60 — 2x — 5 + 1 — x \)
\( 2\sqrt{2x^2 — 2x + 5x — 5} = 60 — 3x \)
\( 4(2x^2 + 3x — 5) = (60 — 3x)^2 \)
\( 8x^2 + 12x — 20 = 3600 — 360x + 9x^2 \)
\( x^2 — 372x + 3620 = 0 \)
\( D = 372^2 — 4 \cdot 3620 = 123904 — 14480 = 109424 \)
\( \sqrt{D} = 352 \)
\( x_1 = \frac{372 — 352}{2} = 10 \)
\( x_2 = \frac{372 + 352}{2} = 362 \)
Уравнение имеет решения при:
\( 2x + 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -2.5 \)
\( x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 1 \)
\( 60 — 3x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 20 \)
Подходит только \( x = 10 \).
Ответ: 10.
5) \( \sqrt{x + 5} + \sqrt{5 — x} = 4 \)
\( (x + 5) + 2\sqrt{(x + 5)(5 — x)} + (5 — x) = 16 \)
\( 2\sqrt{25 — x^2} = 6 \)
\( \sqrt{25 — x^2} = 3 \)
\( 25 — x^2 = 9 \)
\( x^2 = 16 \)
\( x = \pm 4 \)
Уравнение имеет решения при:
\( x + 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -5 \)
\( 5 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 5 \)
Подходят оба значения \( x = 4 \) и \( x = -4 \).
Ответ: \( \pm 4 \).
6) \( \sqrt{3x — 1} + \sqrt{x + 3} = 2 \)
\( (3x — 1) + 2\sqrt{(3x — 1)(x + 3)} + (x + 3) = 4 \)
\( 2\sqrt{3x^2 + 9x — x — 3} = 2 — 4x \)
\( 2\sqrt{3x^2 + 8x — 3} = 2 — 4x \)
\( \sqrt{3x^2 + 8x — 3} = 1 — 2x \)
\( 3x^2 + 8x — 3 = (1 — 2x)^2 = 1 — 4x + 4x^2 \)
\( 3x^2 + 8x — 3 = 1 — 4x + 4x^2 \)
\( 3x^2 + 8x — 3 — 1 + 4x — 4x^2 = 0 \)
\( -x^2 + 12x — 4 = 0 \)
\( x^2 — 12x + 4 = 0 \)
\( D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 144 — 16 = 128 \)
\( x_1 = \frac{12 — \sqrt{128}}{2} = \frac{12 — 8\sqrt{2}}{2} = 6 — 4\sqrt{2} \)
\( x_2 = \frac{12 + \sqrt{128}}{2} = \frac{12 + 8\sqrt{2}}{2} = 6 + 4\sqrt{2} \)
Уравнение имеет решения при:
\( 3x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq \frac{1}{3} \)
\( x + 3 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -3 \)
\( 1 — 2x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 0.5 \)
Подходит только \( x = 6 — 4\sqrt{2} \).
Ответ: \( 6 — 4\sqrt{2} \).
7) \( \sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x — \sqrt{x + 11}} = 4 \)
\( (x + \sqrt{x + 11}) + 2\sqrt{(x + \sqrt{x + 11})(x — \sqrt{x + 11})} + (x — \sqrt{x + 11}) = 16 \)
\( 2x + 2\sqrt{x^2 — (x + 11)} = 16 \)
\( 2x + 2\sqrt{x^2 — x — 11} = 16 \)
\( x + \sqrt{x^2 — x — 11} = 8 \)
\( \sqrt{x^2 — x — 11} = 8 — x \)
\( x^2 — x — 11 = (8 — x)^2 = 64 — 16x + x^2 \)
\( x^2 — x — 11 — 64 + 16x — x^2 = 0 \)
\( 15x — 75 = 0 \)
\( x = 5 \)
Уравнение имеет решения при:
\( x + 11 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -11 \)
\( 8 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 8 \)
Подходит \( x = 5 \).
Ответ: 5.
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x + 6} — \sqrt{x + 1} = 2 \)
Область допустимых значений (ОДЗ):
\( 2x + 6 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -3; \)
\( x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -1; \)
Запишем исходное уравнение:
\( \sqrt{2x + 6} — \sqrt{x + 1} = 2 \)
Переносим \( \sqrt{x + 1} \) в правую часть:
\( \sqrt{2x + 6} = 2 + \sqrt{x + 1} \)
Возводим обе части в квадрат:
\( 2x + 6 = (2 + \sqrt{x + 1})^2 \)
\( 2x + 6 = 4 + 4\sqrt{x + 1} + (x + 1) \)
\( 2x + 6 = 4 + 4\sqrt{x + 1} + x + 1 \)
Переносим всё в левую часть:
\( 2x + 6 — 4 — x — 1 = 4\sqrt{x + 1} \)
\( (2x — x) + (6 — 4 — 1) = 4\sqrt{x + 1} \)
\( x + 1 = 4\sqrt{x + 1} \)
Пусть \( t = \sqrt{x + 1} \), тогда \( x + 1 = t^2 \), и уравнение принимает вид:
\( t^2 = 4t \Longrightarrow t^2 — 4t = 0 \Longrightarrow t(t — 4) = 0 \)
Значит \( t = 0 \) или \( t = 4 \).
1) Если \( t = 0 \): \( \sqrt{x + 1} = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \);
2) Если \( t = 4 \): \( \sqrt{x + 1} = 4 \Rightarrow x + 1 = 16 \Rightarrow x = 15 \).
Проверим ОДЗ для каждого корня:
Для \( x = -1 \):
\( 2 \cdot (-1) + 6 = 4 \geq 0 \), \( -1 + 1 = 0 \geq 0 \) — подходит.
Для \( x = 15 \):
\( 2 \cdot 15 + 6 = 36 \geq 0 \), \( 15 + 1 = 16 \geq 0 \) — подходит.
Ответы подходят.
Ответ: -1; 15.
2) \( \sqrt{x + 5} — \sqrt{x} = 1 \)
ОДЗ: \( x + 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -5 \), \( x \geq 0 \). Значит, \( x \geq 0 \).
Переносим \( \sqrt{x} \) вправо:
\( \sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x} \)
Возводим в квадрат:
\( x + 5 = (1 + \sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x \)
\( x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x \)
\( x + 5 — 1 — x = 2\sqrt{x} \)
\( 4 = 2\sqrt{x} \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 \)
Проверим подстановкой в исходное уравнение:
\( \sqrt{4 + 5} — \sqrt{4} = \sqrt{9} — 2 = 3 — 2 = 1 \) — верно.
Ответ: 4.
3) \( \sqrt{x — 5} — \sqrt{9 — x} = 1 \)
ОДЗ: \( x — 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 5 \), \( 9 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 9 \).
Переносим \( \sqrt{9 — x} \) вправо:
\( \sqrt{x — 5} = 1 + \sqrt{9 — x} \)
Возводим в квадрат:
\( x — 5 = (1 + \sqrt{9 — x})^2 = 1 + 2\sqrt{9 — x} + 9 — x \)
\( x — 5 = 1 + 2\sqrt{9 — x} + 9 — x \)
\( x — 5 — 1 — 9 + x = 2\sqrt{9 — x} \)
\( 2x — 15 = 2\sqrt{9 — x} \)
\( x — 7.5 = \sqrt{9 — x} \)
Возводим в квадрат ещё раз:
\( (x — 7.5)^2 = 9 — x \)
\( x^2 — 15x + 56.25 = 9 — x \)
\( x^2 — 14x + 47.25 = 0 \)
Но выше у нас другой вид — общий вид:
\( (2x — 15)^2 = 4(9 — x) \)
\( 4x^2 — 60x + 225 = 36 — 4x \)
\( 4x^2 — 56x + 189 = 0 \)
\( D = 56^2 — 4 \cdot 4 \cdot 189 = 3136 — 3024 = 112 \)
\( x = \frac{56 \pm \sqrt{112}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{7}}{2} \)
Проверим условия:
\( x \geq 5 \), \( x \leq 9 \), \( x \geq 7.5 \).
Только \( x = \frac{14 + \sqrt{7}}{2} \) подходит.
Ответ: \( \frac{14 + \sqrt{7}}{2} \).
4) \( \sqrt{2x + 5} = 8 — \sqrt{x — 1} \)
ОДЗ: \( 2x + 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -2.5 \), \( x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 1 \).
Переносим \( \sqrt{x-1} \) влево:
\( \sqrt{2x + 5} + \sqrt{x — 1} = 8 \)
Возводим обе части в квадрат:
\( (2x + 5) + 2\sqrt{(2x + 5)(x — 1)} + (x — 1) = 64 \)
\( 2x + 5 + x — 1 + 2\sqrt{(2x + 5)(x — 1)} = 64 \)
\( 3x + 4 + 2\sqrt{(2x + 5)(x — 1)} = 64 \)
\( 2\sqrt{(2x + 5)(x — 1)} = 60 — 3x \)
\( 4(2x + 5)(x — 1) = (60 — 3x)^2 \)
\( 4(2x^2 + 5x — 2x — 5) = 3600 — 360x + 9x^2 \)
\( 4(2x^2 + 3x — 5) = 3600 — 360x + 9x^2 \)
\( 8x^2 + 12x — 20 = 3600 — 360x + 9x^2 \)
\( 8x^2 + 12x — 20 — 9x^2 + 360x — 3600 = 0 \)
\( -x^2 + 372x — 3620 = 0 \)
\( x^2 — 372x + 3620 = 0 \)
\( D = 372^2 — 4 \cdot 3620 = 138384 — 14480 = 123904 \)
\( \sqrt{D} = 352 \)
\( x_1 = \frac{372 — 352}{2} = 10 \), \( x_2 = \frac{372 + 352}{2} = 362 \)
Проверяем ОДЗ и ограничение из \( 60 — 3x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 20 \):
Подходит только \( x = 10 \).
Ответ: 10.
5) \( \sqrt{x + 5} + \sqrt{5 — x} = 4 \)
ОДЗ: \( x + 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -5 \), \( 5 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 5 \).
Возводим обе части в квадрат:
\( (x + 5) + 2\sqrt{(x + 5)(5 — x)} + (5 — x) = 16 \)
\( (x + 5) + (5 — x) + 2\sqrt{25 — x^2} = 16 \)
\( 10 + 2\sqrt{25 — x^2} = 16 \)
\( 2\sqrt{25 — x^2} = 6 \Longrightarrow \sqrt{25 — x^2} = 3 \)
\( 25 — x^2 = 9 \Longrightarrow x^2 = 16 \Longrightarrow x = 4 \) или \( x = -4 \)
Проверяем ОДЗ: оба подходят.
Ответ: \( \pm 4 \).
6) \( \sqrt{3x — 1} + \sqrt{x + 3} = 2 \)
ОДЗ: \( 3x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq \frac{1}{3} \), \( x + 3 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -3 \).
Переносим все под один корень:
\( (3x — 1) + 2\sqrt{(3x — 1)(x + 3)} + (x + 3) = 4 \)
\( 3x — 1 + x + 3 + 2\sqrt{(3x — 1)(x + 3)} = 4 \)
\( 4x + 2 + 2\sqrt{(3x — 1)(x + 3)} = 4 \)
\( 2\sqrt{(3x — 1)(x + 3)} = 2 — 4x \)
\( \sqrt{(3x — 1)(x + 3)} = 1 — 2x \)
ОДЗ: \( 1 — 2x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 0.5 \).
Пусть \( t = 1 — 2x \geq 0 \):
\( (3x — 1)(x + 3) = (1 — 2x)^2 \)
\( 3x^2 + 9x — x — 3 = 1 — 4x + 4x^2 \)
\( 3x^2 + 8x — 3 = 1 — 4x + 4x^2 \)
\( 3x^2 + 8x — 3 — 1 + 4x — 4x^2 = 0 \)
\( -x^2 + 12x — 4 = 0 \Longrightarrow x^2 — 12x + 4 = 0 \)
\( D = 144 — 16 = 128 \)
\( x_1 = 6 — 4\sqrt{2},\quad x_2 = 6 + 4\sqrt{2} \)
ОДЗ: \( x_1 \leq 0.5 \) только для \( x_1 = 6 — 4\sqrt{2} \).
Ответ: \( 6 — 4\sqrt{2} \).
7) \( \sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x — \sqrt{x + 11}} = 4 \)
ОДЗ: \( x + 11 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -11 \), \( x — \sqrt{x + 11} \geq 0 \), \( 8 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 8 \).
Пусть \( t = \sqrt{x + 11} \), тогда:
\( \sqrt{x + t} + \sqrt{x — t} = 4 \)
Возводим в квадрат:
\( (x + t) + 2\sqrt{x^2 — t^2} + (x — t) = 16 \)
\( 2x + 2\sqrt{x^2 — t^2} = 16 \Longrightarrow x + \sqrt{x^2 — t^2} = 8 \)
\( \sqrt{x^2 — t^2} = 8 — x \)
\( x^2 — t^2 = (8 — x)^2 \Longrightarrow x^2 — t^2 = 64 — 16x + x^2 \)
\( -t^2 = 64 — 16x \Longrightarrow t^2 = 16x — 64 \)
Но \( t^2 = x + 11 \Rightarrow x + 11 = 16x — 64 \Longrightarrow 15x = 75 \Longrightarrow x = 5 \)
Проверяем ОДЗ: \( 5 + 11 = 16 \geq 0 \), \( 5 — \sqrt{16} = 5 — 4 = 1 \geq 0 \), \( 8 — 5 = 3 \geq 0 \). Всё верно.
Ответ: 5.
