Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x — 4} — \sqrt{x + 5} = 1; \)
2) \( \sqrt{x + 11} — \sqrt{2x + 1} = 2; \)
3) \( \sqrt{3x + 1} + \sqrt{16 — 3x} = 5. \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x — 4} — \sqrt{x + 5} = 1; \)
\( \sqrt{2x — 4} = 1 + \sqrt{x + 5}; \)
\( 2x — 4 = 1 + 2\sqrt{x + 5} + (x + 5); \)
\( 2x — 4 = 1 + 2\sqrt{x + 5} + x + 5; \)
\( x — 10 = 2\sqrt{x + 5}; \)
\( (x — 10)^2 = 4(x + 5); \)
\( x^2 — 20x + 100 = 4x + 20; \)
\( x^2 — 24x + 80 = 0; \)
\( D = 24^2 — 4 \cdot 80 = 576 — 320 = 256, \) тогда:
\( x_1 = \frac{24 — 16}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{24 + 16}{2} = 20; \)
Уравнение имеет решения при:
\( 2x — 4 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 2; \)
\( x + 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -5; \)
\( x — 10 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 10; \)
Ответ: 20.
2) \( \sqrt{x + 11} — \sqrt{2x + 1} = 2; \)
\( \sqrt{x + 11} = 2 + \sqrt{2x + 1}; \)
\( x + 11 = 4 + 4\sqrt{2x + 1} + (2x + 1); \)
\( x + 11 = 4 + 4\sqrt{2x + 1} + 2x + 1; \)
\( 6 — x = 4\sqrt{2x + 1}; \)
\( (6 — x)^2 = 16(2x + 1); \)
\( 36 — 12x + x^2 = 32x + 16; \)
\( x^2 — 44x + 20 = 0; \)
\( D = 44^2 — 4 \cdot 20 = 1936 — 80 = 1856, \) тогда:
\( x = \frac{44 \pm \sqrt{1856}}{2} = \frac{44 \pm 2\sqrt{464}}{2} = 22 \pm \sqrt{464}; \)
Уравнение имеет решения при:
\( x + 11 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -11; \)
\( 2x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -0,5; \)
\( 6 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 6; \)
Ответ: \( 22 — \sqrt{464} \).
3) \( \sqrt{3x + 1} + \sqrt{16 — 3x} = 5; \)
\((3x + 1) + 2\sqrt{(3x + 1)(16 — 3x)} + (16 — 3x) = 25;\)
\(2\sqrt{48x — 9x^2 + 16 — 3x} = 8;\)
\(\sqrt{45x + 16 — 9x^2} = 4;\)
\(45x + 16 — 9x^2 = 16;\)
\(9x^2 — 45x = 0;\)
\(9x(x — 5) = 0;\)
\(x_1 = 0\) и \(x_2 = 5;\)
Уравнение имеет решения при:
\(3x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -\frac{1}{3};\)
\(16 — 3x \geq 0 \Longrightarrow x \leq \frac{16}{3};\)
Ответ: 0; 5.
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{2x — 4} — \sqrt{x + 5} = 1 \)
Шаг 1. Перенесём \(\sqrt{x + 5}\) вправо:
\( \sqrt{2x — 4} = 1 + \sqrt{x + 5} \)
Шаг 2. Возведём обе части в квадрат (получим уравнение без корня слева):
\( (\sqrt{2x — 4})^2 = (1 + \sqrt{x + 5})^2 \)
\( 2x — 4 = 1 + 2\sqrt{x + 5} + x + 5 \)
Шаг 3. Приведём подобные:
\( 2x — 4 = x + 6 + 2\sqrt{x + 5} \)
Шаг 4. Оставим подкоренное выражение справа:
\( x — 10 = 2\sqrt{x + 5} \)
Шаг 5. Ещё раз возведём обе части в квадрат:
\( (x — 10)^2 = 4(x + 5) \)
Шаг 6. Раскроем скобки и упростим:
\( x^2 — 20x + 100 = 4x + 20 \)
\( x^2 — 24x + 80 = 0 \)
Шаг 7. Найдём дискриминант:
\( D = (-24)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 — 320 = 256 \)
Шаг 8. Найдём корни квадратного уравнения:
\( x_{1,2} = \frac{24 \pm 16}{2} \)
\( x_1 = \frac{24 — 16}{2} = 4 \), \( x_2 = \frac{24 + 16}{2} = 20 \)
Шаг 9. Область допустимых значений:
\( 2x — 4 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 2 \)
\( x + 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -5 \)
\( x — 10 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 10 \)
Шаг 10. Проверяем корни:
\( x = 4 \) не подходит (не выполняется \( x \geq 10 \)),
\( x = 20 \) подходит всем условиям.
Ответ: 20.
2) \( \sqrt{x + 11} — \sqrt{2x + 1} = 2 \)Шаг 1. Переносим \(\sqrt{2x + 1}\) вправо:
\( \sqrt{x + 11} = 2 + \sqrt{2x + 1} \)
Шаг 2. Возводим в квадрат:
\( x + 11 = (2 + \sqrt{2x + 1})^2 = 4 + 4\sqrt{2x + 1} + 2x + 1 \)
\( x + 11 = 2x + 5 + 4\sqrt{2x + 1} \)
Шаг 3. Изолируем корень:
\( 6 — x = 4\sqrt{2x + 1} \)
Шаг 4. Ещё раз возводим обе части в квадрат:
\( (6 — x)^2 = 16(2x + 1) \)
\( 36 — 12x + x^2 = 32x + 16 \)
\( x^2 — 44x + 20 = 0 \)
Шаг 5. Находим дискриминант:
\( D = 44^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1936 — 80 = 1856 \)
Шаг 6. Корни уравнения:
\( x_{1,2} = \frac{44 \pm \sqrt{1856}}{2} = \frac{44 \pm 2\sqrt{464}}{2} = 22 \pm \sqrt{464} \)
Шаг 7. Область допустимых значений:
\( x + 11 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -11 \)
\( 2x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -0.5 \)
\( 6 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 6 \)
Шаг 8. Проверка корней:
\( x = 22 + \sqrt{464} \) больше 6, не подходит.
\( x = 22 — \sqrt{464} \) меньше 6, подходит.
Ответ: \( 22 — \sqrt{464} \)
3) \( \sqrt{3x + 1} + \sqrt{16 — 3x} = 5 \)
Шаг 1. Возведём обе части в квадрат:
\( (3x + 1) + 2\sqrt{(3x + 1)(16 — 3x)} + (16 — 3x) = 25 \)
\( 3x + 1 + 16 — 3x + 2\sqrt{(3x + 1)(16 — 3x)} = 25 \)
\( 17 + 2\sqrt{(3x + 1)(16 — 3x)} = 25 \)
\( 2\sqrt{(3x + 1)(16 — 3x)} = 8 \)
\( \sqrt{(3x + 1)(16 — 3x)} = 4 \)
\( (3x + 1)(16 — 3x) = 16 \)
\( 48x + 16 — 9x^2 — 3x = 16 \)
\( 45x — 9x^2 = 0 \)
\( 9x(x — 5) = 0 \)
\( x_1 = 0 \), \( x_2 = 5 \)
Область допустимых значений:
\( 3x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -\frac{1}{3} \)
\( 16 — 3x \geq 0 \Longrightarrow x \leq \frac{16}{3} \)
Оба корня подходят.
Ответ: 0; 5.
