Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{3x + 4} + \sqrt{x — 4} = 2\sqrt{x}; \)
2) \( \sqrt{x + 1} — \sqrt{9 — x} = \sqrt{2x — 12}. \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{3x + 4} + \sqrt{x — 4} = 2\sqrt{x}; \)
\((3x + 4) + 2\sqrt{(3x + 4)(x — 4)} + (x — 4) = 4x; \)
\(2\sqrt{3x^2 — 12x + 4x — 16} = 0; \)
\(\sqrt{3x^2 — 8x — 16} = 0;\)
\(3x^2 — 8x — 16 = 0;\)
\(D = 8^2 + 4 \cdot 3 \cdot 16 = 64 + 192 = 256,\) тогда:
\(x_1 = \frac{8 — 16}{2 \cdot 3} = \frac{8 — 16}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}\)
\(x_2 = \frac{8 + 16}{6} = \frac{24}{6} = 4;\)
Уравнение имеет решения при:
\(3x + 4 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -\frac{4}{3};\)
\(x — 4 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 4;\)
\(x \geq 0;\)
Ответ: 4.
2) \( \sqrt{x + 1} — \sqrt{9 — x} = \sqrt{2x — 12}; \)
\(\sqrt{x + 1} = \sqrt{2x — 12} + \sqrt{9 — x};\)
\(x + 1 = (2x — 12) + 2\sqrt{(2x — 12)(9 — x)} + (9 — x);\)
\(x + 1 = 2x — 12 + 2\sqrt{(2x — 12)(9 — x)} + 9 — x;\)
\(x + 1 — 2x + 12 — 9 + x = 2\sqrt{(2x — 12)(9 — x)};\)
\(4 = 2\sqrt{18x — 2x^2 — 108 + 12x};\)
\(2 = \sqrt{30x — 108 — 2x^2};\)
\(4 = 30x — 108 — 2x^2;\)
\(2x^2 — 30x + 112 = 0 \quad | :2;\)
\(x^2 — 15x + 56 = 0;\)
\(D = 15^2 — 4 \cdot 56 = 225 — 224 = 1;\)
\(x_1 = \frac{15 — 1}{2} = 7,\quad x_2 = \frac{15 + 1}{2} = 8;\)
Уравнение имеет решения при:
\(x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -1;\)
\(9 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 9;\)
\(2x — 12 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 6;\)
Ответ: 7; 8.
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{3x + 4} + \sqrt{x — 4} = 2\sqrt{x} \)
Для начала, обозначим обе части, содержащие корни. Чтобы избавиться от радикалов, перенесём их в одну часть и возведём обе части в квадрат:
\( \sqrt{3x + 4} + \sqrt{x — 4} = 2\sqrt{x} \)
Перенесём \(2\sqrt{x}\) в левую часть:
\( \sqrt{3x + 4} + \sqrt{x — 4} — 2\sqrt{x} = 0 \)
В данном решении возведём обе части в квадрат после переноса \(2\sqrt{x}\) вправо (как в решении на картинке). Это даст:
\( (3x + 4) + 2\sqrt{(3x + 4)(x — 4)} + (x — 4) = 4x \)
Распишем подробно:
\( 3x + 4 + x — 4 + 2\sqrt{(3x + 4)(x — 4)} = 4x \)
\( 4x + 2\sqrt{(3x + 4)(x — 4)} = 4x \)
\( 2\sqrt{(3x + 4)(x — 4)} = 0 \)
\( \sqrt{(3x + 4)(x — 4)} = 0 \)
Это возможно только при \( (3x + 4)(x — 4) = 0 \).
Преобразуем:
\( 3x^2 + 4x — 12x — 16 = 0 \)
\( 3x^2 — 8x — 16 = 0 \)
Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
\( D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{8 — 16}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \)
\( x_2 = \frac{8 + 16}{6} = \frac{24}{6} = 4 \)
Теперь укажем ОДЗ (область допустимых значений):
\( 3x + 4 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -\frac{4}{3} \)
\( x — 4 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 4 \)
\( x \geq 0 \)
Из всех условий подходит только \( x = 4 \).
Ответ: 4.
2) \( \sqrt{x + 1} — \sqrt{9 — x} = \sqrt{2x — 12} \)
Переносим \(\sqrt{9-x}\) вправо:
\( \sqrt{x + 1} = \sqrt{2x — 12} + \sqrt{9 — x} \)
Возводим обе части в квадрат:
\( x + 1 = (2x — 12) + 2\sqrt{(2x — 12)(9 — x)} + (9 — x) \)
\( x + 1 = 2x — 12 + 9 — x + 2\sqrt{(2x — 12)(9 — x)} \)
\( x + 1 = 2x — 12 + 9 — x + 2\sqrt{(2x — 12)(9 — x)} \)
\( x + 1 — 2x + 12 — 9 + x = 2\sqrt{(2x — 12)(9 — x)} \)
\( 4 = 2\sqrt{(2x — 12)(9 — x)} \)
\( 2 = \sqrt{(2x — 12)(9 — x)} \)
\( 4 = (2x — 12)(9 — x) \)
\( 4 = 18x — 2x^2 — 108 + 12x \)
\( 4 = 30x — 2x^2 — 108 \)
\( 2x^2 — 30x + 112 = 0 \)
Делим обе части на 2:
\( x^2 — 15x + 56 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 15^2 — 4 \cdot 56 = 225 — 224 = 1 \)
\( x_1 = \frac{15 — 1}{2} = 7 \), \( x_2 = \frac{15 + 1}{2} = 8 \)
ОДЗ:
\( x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -1 \)
\( 9 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 9 \)
\( 2x — 12 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 6 \)
Из всех условий подходят оба значения \( x = 7 \) и \( x = 8 \).
Ответ: 7; 8.
