Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x + 3} — \sqrt{2x — 1} — \sqrt{3x — 2} = 0; \)
2) \( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x — 1} = \sqrt{3x — 1}. \)
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x + 3} — \sqrt{2x — 1} — \sqrt{3x — 2} = 0; \)
\( \sqrt{x + 3} = \sqrt{2x — 1} + \sqrt{3x — 2}; \)
\( x + 3 = (2x — 1) + 2\sqrt{(2x — 1)(3x — 2)} + (3x — 2); \)
\( 6 — 4x = 2\sqrt{6x^2 — 4x — 3x + 2}; \)
\( 3 — 2x = \sqrt{6x^2 — 7x + 2}; \)
\( 9 — 12x + 4x^2 = 6x^2 — 7x + 2; \)
\( 2x^2 + 5x — 7 = 0; \)
\( D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 7 = 25 + 56 = 81; \)
\( x_1 = \frac{-5 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5; \)
\( x_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1; \)
Уравнение имеет решения при:
\( x + 3 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -3; \)
\( 2x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 0.5; \)
\( 3x — 2 \geq 0 \Longrightarrow x \geq \frac{2}{3}; \)
\( 3 — 2x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 1.5; \)
Ответ: 1.
2) \( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x — 1} = \sqrt{3x — 1}; \)
\((x + 1) + 2\sqrt{(x + 1)(x — 1)} + (x — 1) = 3x — 1;\)
\(2\sqrt{x^2 — 1} = x — 1;\)
\(4(x^2 — 1) = (x — 1)^2;\)
\(4x^2 — 4 = x^2 — 2x + 1;\)
\(3x^2 + 2x — 5 = 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 + 60 = 64,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-2 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} = -1 \frac{2}{3};\)
\(x_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1;\)
Уравнение имеет решения при:
\(x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -1;\)
\(x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 1;\)
\(3x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq \frac{1}{3};\)
Ответ: 1.
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x + 3} — \sqrt{2x — 1} — \sqrt{3x — 2} = 0; \)
Перенесём все корни в правую часть:
\( \sqrt{x + 3} = \sqrt{2x — 1} + \sqrt{3x — 2} \)
Возведём обе части в квадрат:
\( x + 3 = (2x — 1) + 2\sqrt{(2x — 1)(3x — 2)} + (3x — 2) \)
\( x + 3 = 2x — 1 + 3x — 2 + 2\sqrt{(2x — 1)(3x — 2)} \)
\( x + 3 = 5x — 3 + 2\sqrt{(2x — 1)(3x — 2)} \)
\( x + 3 — 5x + 3 = 2\sqrt{(2x — 1)(3x — 2)} \)
\( -4x + 6 = 2\sqrt{(2x — 1)(3x — 2)} \)
Разделим обе части на 2:
\( -2x + 3 = \sqrt{(2x — 1)(3x — 2)} \)
Снова возведём обе части в квадрат:
\( (-2x + 3)^2 = (2x — 1)(3x — 2) \)
\( 4x^2 — 12x + 9 = 6x^2 — 4x — 3x + 2 \)
\( 4x^2 — 12x + 9 = 6x^2 — 7x + 2 \)
\( 4x^2 — 12x + 9 — 6x^2 + 7x — 2 = 0 \)
\( -2x^2 — 5x + 7 = 0 \)
Умножим обе части на \(-1\):
\( 2x^2 + 5x — 7 = 0 \)
Находим дискриминант:
\( D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 7 = 25 + 56 = 81 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-5 — 9}{4} = -3.5 \)
\( x_2 = \frac{-5 + 9}{4} = 1 \)
Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
\( x + 3 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -3; \)
\( 2x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 0.5; \)
\( 3x — 2 \geq 0 \Longrightarrow x \geq \frac{2}{3}; \)
\( 3 — 2x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 1.5; \)
Из найденных корней только \( x = 1 \) удовлетворяет всем условиям ОДЗ.
Ответ: 1.
2) \( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x — 1} = \sqrt{3x — 1}; \)
Преобразуем левую часть с помощью формулы квадрата суммы:
\( (x + 1) + 2\sqrt{(x + 1)(x — 1)} + (x — 1) = 3x — 1 \)
\( x + 1 + x — 1 + 2\sqrt{x^2 — 1} = 3x — 1 \)
\( 2x + 2\sqrt{x^2 — 1} = 3x — 1 \)
\( 2\sqrt{x^2 — 1} = 3x — 1 — 2x \)
\( 2\sqrt{x^2 — 1} = x — 1 \)
Разделим обе части на 2:
\( \sqrt{x^2 — 1} = \frac{x — 1}{2} \)
Возведём обе части в квадрат:
\( x^2 — 1 = \frac{(x — 1)^2}{4} \)
\( 4(x^2 — 1) = (x — 1)^2 \)
\( 4x^2 — 4 = x^2 — 2x + 1 \)
\( 4x^2 — 4 — x^2 + 2x — 1 = 0 \)
\( 3x^2 + 2x — 5 = 0 \)
Находим дискриминант:
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 + 60 = 64 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-2 — 8}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3} \)
\( x_2 = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
Проверим ОДЗ:
\( x + 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -1 \)
\( x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 1 \)
\( 3x — 1 \geq 0 \Longrightarrow x \geq \frac{1}{3} \)
Из найденных корней только \( x = 1 \) удовлетворяет всем условиям.
Ответ: 1.
