Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( \sqrt{2x — 4} \geq \sqrt{5 — x}; \)
2) \( \sqrt{x} < \sqrt{x + 1}; \)
3) \( \sqrt{x^2 + x} < \sqrt{x^2 + 1}; \) 4) \( \sqrt{x^2 — 3x + 1} > \sqrt{2x — 3}; \)
5) \( \sqrt{8 — 5x} \geq \sqrt{x^2 — 16}; \)
6) \( \sqrt{x^2 — 3x + 2} < \sqrt{2x^2 — 3x + 1}; \)
Решите неравенство:
1) \( \sqrt{2x — 4} \geq \sqrt{5 — x}; \)
\( 2x — 4 \geq 5 — x; \)
\( 3x \geq 9; \)
\( x \geq 3; \)
Выражение имеет смысл при:
\( 5 — x \geq 0; \)
\( x \leq 5; \)
Ответ: \( x \in [3; 5] \).
2) \( \sqrt{x} < \sqrt{x + 1}; \)
\( x < x + 1; \)
\( x — x < 1; \)
\( 0 < 1; \)
\( x \in \mathbb{R}; \)
Выражение имеет смысл при:
\( x \geq 0; \)
Ответ: \( x \in [0; +\infty) \).
3) \( \sqrt{x^2 + x} < \sqrt{x^2 + 1}; \)
\( x^2 + x < x^2 + 1; \)
\( x < 1; \)
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 + x \geq 0; \)
\( (x + 1)x \geq 0; \)
\( x \leq -1 \) или \( x \geq 0; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [0; 1) \).
4) \( \sqrt{x^2 — 3x + 1} > \sqrt{2x — 3}; \)\( x^2 — 3x + 1 > 2x — 3; \)
\( x^2 — 5x + 4 > 0; \)
Дискриминант:
\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \)
и
\( x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)
\( (x — 1)(x — 4) > 0 \)
\( x < 1 \) или \( x > 4 \)
Выражение имеет смысл при:
\( 2x — 3 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 1.5 \)
Ответ: \( x \in (4; +\infty) \).
5) \( \sqrt{8 — 5x} \geq \sqrt{x^2 — 16}; \)
\( 8 — 5x \geq x^2 — 16; \)
\( x^2 + 5x — 24 \leq 0; \)
Дискриминант:
\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-5 — 11}{2} = -8 \)
и
\( x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3 \)
\( (x + 8)(x — 3) \leq 0 \)
\( -8 \leq x \leq 3 \)
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 16 \geq 0 \Longrightarrow (x + 4)(x — 4) \geq 0 \Longrightarrow x \leq -4 \) или \( x \geq 4 \)
Ответ: \( x \in [-8; -4] \).
6) \( \sqrt{x^2 — 3x + 2} < \sqrt{2x^2 — 3x + 1} \);\( x^2 — 3x + 2 < 2x^2 — 3x + 1; \) \( x^2 — 1 > 0; \)
\( (x + 1)(x — 1) > 0; \)
\( x < -1 \) или \( x > 1 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 3x + 2 \geq 0; \)
\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \), тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \);
\( (x — 1)(x — 2) \geq 0; \)
\( x \leq 1 \) или \( x \geq 2 \);
Совмещаем оба условия:
1) \( x < -1 \) или \( x > 1 \);
2) \( x \leq 1 \) или \( x \geq 2 \);
Рассмотрим пересечения:
— Для \( x < -1 \): оба условия выполняются, значит \( x \in (-\infty; -1) \). — Для \( x > 1 \) и \( x \leq 1 \): не пересекаются.
— Для \( x > 1 \) и \( x \geq 2 \): выполняется только при \( x \geq 2 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup [2; +\infty) \).
Решите неравенство:
1) \( \sqrt{2x — 4} \geq \sqrt{5 — x} \)
Для существования выражений под корнем необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
\( 2x — 4 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 2 \)
\( 5 — x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 5 \)
Область допустимых значений: \( x \in [2; 5] \).
Преобразуем неравенство, возведя обе части в квадрат (так как обе части неотрицательны в найденной ОДЗ):
\( \sqrt{2x — 4} \geq \sqrt{5 — x} \Longrightarrow 2x — 4 \geq 5 — x \)
\( 2x + x \geq 5 + 4 \)
\( 3x \geq 9 \)
\( x \geq 3 \)
Пересечение с областью допустимых значений:
\( x \in [2; 5] \cap [3; +\infty) = [3; 5] \)
Ответ: \( x \in [3; 5] \)
2) \( \sqrt{x} < \sqrt{x + 1} \)
ОДЗ: \( x \geq 0 \)
Возведем обе части в квадрат (допустимо при \( x \geq 0 \)):
\( x < x + 1 \)
\( 0 < 1 \) — верно для любого значения \( x \).
Совместно с областью определения:
Ответ: \( x \in [0; +\infty) \)
3) \( \sqrt{x^2 + x} < \sqrt{x^2 + 1} \)
ОДЗ: \( x^2 + x \geq 0 \Rightarrow x \leq -1 \) или \( x \geq 0 \)
Возведем обе части в квадрат:
\( x^2 + x < x^2 + 1 \)
\( x < 1 \)
Пересекаем это условие с ОДЗ:
\( x \leq -1 \) или \( 0 \leq x < 1 \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [0; 1) \)
4) \( \sqrt{x^2 — 3x + 1} > \sqrt{2x — 3} \)
ОДЗ:
\( x^2 — 3x + 1 \geq 0 \)
\( 2x — 3 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 1.5 \)
Решим квадратное неравенство:
\( x^2 — 5x + 4 > 0 \)
Найдем корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 4 \)
\( (x — 1)(x — 4) > 0 \Rightarrow x < 1 \) или \( x > 4 \)
Пересекаем с ОДЗ \( x \geq 1.5 \):
Только \( x > 4 \)
Ответ: \( x \in (4; +\infty) \)
5) \( \sqrt{8 — 5x} \geq \sqrt{x^2 — 16} \)
ОДЗ:
\( 8 — 5x \geq 0 \Longrightarrow x \leq \frac{8}{5} \)
\( x^2 — 16 \geq 0 \Longrightarrow x \leq -4 \) или \( x \geq 4 \)
Неравенство после возведения в квадрат:
\( 8 — 5x \geq x^2 — 16 \Longrightarrow x^2 + 5x — 24 \leq 0 \)
Найдем корни: \( x_1 = -8 \), \( x_2 = 3 \)
\( (x + 8)(x — 3) \leq 0 \Rightarrow x \in [-8; 3] \)
С учетом ОДЗ:
\( x \leq -4 \) и \( x \in [-8; 3] \Rightarrow x \in [-8; -4] \)
Ответ: \( x \in [-8; -4] \)
6) \( \sqrt{x^2 — 3x + 2} < \sqrt{2x^2 — 3x + 1} \);\( x^2 — 3x + 2 < 2x^2 — 3x + 1; \) \( x^2 — 1 > 0; \)
\( (x + 1)(x — 1) > 0; \)
\( x < -1 \) или \( x > 1 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 3x + 2 \geq 0; \)
\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \), тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \);
\( (x — 1)(x — 2) \geq 0; \)
\( x \leq 1 \) или \( x \geq 2 \);
Совмещаем оба условия:
1) \( x < -1 \) или \( x > 1 \);
2) \( x \leq 1 \) или \( x \geq 2 \);
Рассмотрим пересечения:
— Для \( x < -1 \): оба условия выполняются, значит \( x \in (-\infty; -1) \). — Для \( x > 1 \) и \( x \leq 1 \): не пересекаются.
— Для \( x > 1 \) и \( x \geq 2 \): выполняется только при \( x \geq 2 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup [2; +\infty) \).
