Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( \sqrt{3x — 2} < \sqrt{x + 6} \)
2) \( \sqrt{2x^2 + 6x — 3} \geq \sqrt{x^2 + 4x} \)
3) \( \sqrt{x^2 + 3x — 10} < \sqrt{x — 2} \)
Решите неравенство:
1) \( \sqrt{3x — 2} < \sqrt{x + 6}; \)
\( 3x — 2 < x + 6; \)
\( 2x < 8; \)
\( x < 4; \)
Выражение имеет смысл при:
\( 3x — 2 \geq 0; \)
\( 3x \geq 2; \)
\( x \geq \frac{2}{3}; \)
Ответ: \( x \in \left[ \frac{2}{3}; 4 \right) \)
2) \( \sqrt{2x^2 + 6x — 3} \geq \sqrt{x^2 + 4x}; \)
\( 2x^2 + 6x — 3 \geq x^2 + 4x; \)
\( x^2 + 2x — 3 \geq 0; \)
Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \),
\( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1; \)
\( (x + 3)(x — 1) \geq 0; \)
\( x \leq -3 \) или \( x \geq 1 \);
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 + 4x \geq 0; \)
\( (x + 4)x \geq 0; \)
\( x \leq -4 \) или \( x \geq 0; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup [1; +\infty) \)
3) \( \sqrt{x^2 + 3x — 10} < \sqrt{x — 2}; \)
\( x^2 + 3x — 10 < x — 2; \)
\( x^2 + 2x — 8 < 0; \)
Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \)
\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \)
\( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)
\( (x + 4)(x — 2) < 0; \)
\( -4 < x < 2; \)
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 + 3x — 10 \geq 0; \)
Дискриминант: \( D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49 \)
\( x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \)
\( x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \)
\( (x + 5)(x — 2) \geq 0; \)
\( x \leq -5 \) или \( x \geq 2; \)
Совмещаем оба условия, но их пересечение пусто.
Ответ: \( x \in \emptyset\).
Решите неравенство:
1) \( \sqrt{3x — 2} < \sqrt{x + 6} \)
Для того чтобы решить это неравенство, сначала обе части возведём в квадрат (так как обе подкоренные величины при допустимых значениях неотрицательны, это допустимо):
\( 3x — 2 < x + 6 \)
Переносим все слагаемые в одну сторону:
\( 3x — x < 6 + 2 \)
\( 2x < 8 \)
\( x < 4 \)
Однако, чтобы выражения под корнями были определены (имели смысл), необходимо чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
\( 3x — 2 \geq 0 \Longrightarrow 3x \geq 2 \Longrightarrow x \geq \frac{2}{3} \)
\( x + 6 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -6 \)
Но из этих двух условий более строгое — это \( x \geq \frac{2}{3} \).
Итак, получаем пересечение двух промежутков:
\( x \geq \frac{2}{3} \) и \( x < 4 \)
Ответом будет промежуток:
Ответ: \( x \in \left[ \frac{2}{3};\ 4 \right) \)
2) \( \sqrt{2x^2 + 6x — 3} \geq \sqrt{x^2 + 4x} \)
Сначала домножим обе части на знакосохраняющее выражение (т.е. возведём в квадрат, когда обе части неотрицательны):
\( 2x^2 + 6x — 3 \geq x^2 + 4x \)
Переносим всё в одну часть:
\( 2x^2 + 6x — 3 — x^2 — 4x \geq 0 \)
\( x^2 + 2x — 3 \geq 0 \)
Рассмотрим это квадратное неравенство. Найдём его корни:
\( x^2 + 2x — 3 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \)
\( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)
Знаки квадратного трёхчлена: ветви вверх, неравенство «больше или равно нуля», значит, решение:
\( x \leq -3 \) или \( x \geq 1 \)
Теперь укажем область допустимых значений (ОДЗ), т.е. чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
\( 2x^2 + 6x — 3 \geq 0 \)
и
\( x^2 + 4x \geq 0 \)
\( x(x + 4) \geq 0 \Longrightarrow x \leq -4 \) или \( x \geq 0 \)
Рассмотрим пересечения:
— Для \( x \leq -3 \): пересекаем с \( x \leq -4 \) — это \( x \leq -4 \)
— Для \( x \geq 1 \): пересекаем с \( x \geq 0 \) — это \( x \geq 1 \)
В итоге, окончательное решение:
Ответ: \( x \in (-\infty;\ -4] \cup [1;\ +\infty) \)
3) \( \sqrt{x^2 + 3x — 10} < \sqrt{x — 2} \)
Возведём обе части в квадрат:
\( x^2 + 3x — 10 < x — 2 \)
\( x^2 + 3x — 10 — x + 2 < 0 \)
\( x^2 + 2x — 8 < 0 \)
Решим это квадратное неравенство:
\( x^2 + 2x — 8 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)
\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \)
\( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)
Так как ветви параболы направлены вверх, промежуток знакопеременности отрицательных значений будет между корнями:
\( -4 < x < 2 \)
Укажем ОДЗ — выражения под корнем должны быть неотрицательны:
\( x^2 + 3x — 10 \geq 0 \)
Корни: \( x_1 = -5,\ x_2 = 2 \)
Значит \( x \leq -5 \) или \( x \geq 2 \)
А также \( x — 2 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 2 \)
Пересечём полученные промежутки:
— Решение неравенства: \( -4 < x < 2 \)
— ОДЗ: \( x \leq -5 \) или \( x \geq 2 \)
— Из этого видно, что нет общих значений (интервалы не пересекаются).
Ответ: \( x \in \emptyset \)
