ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( \sqrt{3x — 2} < \sqrt{x + 6} \)

2) \( \sqrt{2x^2 + 6x — 3} \geq \sqrt{x^2 + 4x} \)

3) \( \sqrt{x^2 + 3x — 10} < \sqrt{x — 2} \)

Решите неравенство:

1) \( \sqrt{3x — 2} < \sqrt{x + 6}; \)

\( 3x — 2 < x + 6; \)

\( 2x < 8; \)

\( x < 4; \)

Выражение имеет смысл при:

\( 3x — 2 \geq 0; \)

\( 3x \geq 2; \)

\( x \geq \frac{2}{3}; \)

Ответ: \( x \in \left[ \frac{2}{3}; 4 \right) \)

2) \( \sqrt{2x^2 + 6x — 3} \geq \sqrt{x^2 + 4x}; \)

\( 2x^2 + 6x — 3 \geq x^2 + 4x; \)

\( x^2 + 2x — 3 \geq 0; \)

Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \),

\( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1; \)

\( (x + 3)(x — 1) \geq 0; \)

\( x \leq -3 \) или \( x \geq 1 \);

Выражение имеет смысл при:

\( x^2 + 4x \geq 0; \)

\( (x + 4)x \geq 0; \)

\( x \leq -4 \) или \( x \geq 0; \)

Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup [1; +\infty) \)

3) \( \sqrt{x^2 + 3x — 10} < \sqrt{x — 2}; \)

\( x^2 + 3x — 10 < x — 2; \)

\( x^2 + 2x — 8 < 0; \)

Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \)

\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \)

\( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)

\( (x + 4)(x — 2) < 0; \)

\( -4 < x < 2; \)

Выражение имеет смысл при:

\( x^2 + 3x — 10 \geq 0; \)

Дискриминант: \( D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49 \)

\( x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \)

\( x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \)

\( (x + 5)(x — 2) \geq 0; \)

\( x \leq -5 \) или \( x \geq 2; \)

Совмещаем оба условия, но их пересечение пусто.

Ответ: \( x \in \emptyset\).

Решите неравенство:

1) \( \sqrt{3x — 2} < \sqrt{x + 6} \)

Для того чтобы решить это неравенство, сначала обе части возведём в квадрат (так как обе подкоренные величины при допустимых значениях неотрицательны, это допустимо):

\( 3x — 2 < x + 6 \)

Переносим все слагаемые в одну сторону:

\( 3x — x < 6 + 2 \)

\( 2x < 8 \)

\( x < 4 \)

Однако, чтобы выражения под корнями были определены (имели смысл), необходимо чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

\( 3x — 2 \geq 0 \Longrightarrow 3x \geq 2 \Longrightarrow x \geq \frac{2}{3} \)

\( x + 6 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -6 \)

Но из этих двух условий более строгое — это \( x \geq \frac{2}{3} \).

Итак, получаем пересечение двух промежутков:

\( x \geq \frac{2}{3} \) и \( x < 4 \)

Ответом будет промежуток:

Ответ: \( x \in \left[ \frac{2}{3};\ 4 \right) \)

2) \( \sqrt{2x^2 + 6x — 3} \geq \sqrt{x^2 + 4x} \)

Сначала домножим обе части на знакосохраняющее выражение (т.е. возведём в квадрат, когда обе части неотрицательны):

\( 2x^2 + 6x — 3 \geq x^2 + 4x \)

Переносим всё в одну часть:

\( 2x^2 + 6x — 3 — x^2 — 4x \geq 0 \)

\( x^2 + 2x — 3 \geq 0 \)

Рассмотрим это квадратное неравенство. Найдём его корни:

\( x^2 + 2x — 3 = 0 \)

Дискриминант:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \)

\( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)

Знаки квадратного трёхчлена: ветви вверх, неравенство «больше или равно нуля», значит, решение:

\( x \leq -3 \) или \( x \geq 1 \)

Теперь укажем область допустимых значений (ОДЗ), т.е. чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

\( 2x^2 + 6x — 3 \geq 0 \)

и

\( x^2 + 4x \geq 0 \)

\( x(x + 4) \geq 0 \Longrightarrow x \leq -4 \) или \( x \geq 0 \)

Рассмотрим пересечения:

— Для \( x \leq -3 \): пересекаем с \( x \leq -4 \) — это \( x \leq -4 \)

— Для \( x \geq 1 \): пересекаем с \( x \geq 0 \) — это \( x \geq 1 \)

В итоге, окончательное решение:

Ответ: \( x \in (-\infty;\ -4] \cup [1;\ +\infty) \)

3) \( \sqrt{x^2 + 3x — 10} < \sqrt{x — 2} \)

Возведём обе части в квадрат:

\( x^2 + 3x — 10 < x — 2 \)

\( x^2 + 3x — 10 — x + 2 < 0 \)

\( x^2 + 2x — 8 < 0 \)

Решим это квадратное неравенство:

\( x^2 + 2x — 8 = 0 \)

Дискриминант:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)

\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \)

\( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)

Так как ветви параболы направлены вверх, промежуток знакопеременности отрицательных значений будет между корнями:

\( -4 < x < 2 \)

Укажем ОДЗ — выражения под корнем должны быть неотрицательны:

\( x^2 + 3x — 10 \geq 0 \)

Корни: \( x_1 = -5,\ x_2 = 2 \)

Значит \( x \leq -5 \) или \( x \geq 2 \)

А также \( x — 2 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 2 \)

Пересечём полученные промежутки:

— Решение неравенства: \( -4 < x < 2 \)

— ОДЗ: \( x \leq -5 \) или \( x \geq 2 \)

— Из этого видно, что нет общих значений (интервалы не пересекаются).

Ответ: \( x \in \emptyset \)