Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \(x > \sqrt{24 — 5x}; \)
2) \(\sqrt{2x + 7} \leq x + 2; \)
3) \(\sqrt{3x — x^2} < 4 — x; \)
4) \(3 — x > 3\sqrt{1 — x^2}; \)
5) \(\sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1; \)
6) \(\sqrt{7x — x^2 — 6} < 2x + 3. \)
Решить неравенство:
1) \( x > \sqrt{24 — 5x}; \)
\( x^2 > 24 — 5x; \)
\( x^2 + 5x — 24 > 0; \)
\( D = 5^2 + 4 \cdot 24 = 25 + 96 = 121, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-5 — 11}{2} = -8 \) и \( x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3; \)
\( (x + 8)(x — 3) > 0; \)
\( x < -8 \) или \( x > 3; \)
Неравенство имеет решения при:
\( x > 0; \)
\( 24 — 5x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 4,8; \)
Ответ: \( x \in (3; 4,8]. \)
2) \( \sqrt{2x + 7} \leq x + 2; \)
\( 2x + 7 \leq x^2 + 4x + 4; \)
\( x^2 + 2x — 3 \geq 0; \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1; \)
\( (x + 3)(x — 1) \geq 0; \)
\( x \leq -3 \) или \( x \geq 1; \)
Неравенство имеет решения при:
\( 2x + 7 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -3,5; \)
\( x + 2 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -2; \)
Ответ: \( x \in [1; +\infty). \)
3) \( \sqrt{3x — x^2} < 4 — x; \)\( 3x — x^2 < 16 — 8x + x^2; \) \( 2x^2 — 11x + 16 > 0; \)
\( D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 16 = 121 — 128 = -7; \)
\( D < 0 \) и \( a > 0 \), значит \( x \in \mathbb{R}; \)
Выражение имеет смысл при:
\( 3x — x^2 \geq 0; \)
\( x^2 — 3x \leq 0; \)
\( x(x — 3) \leq 0; \)
\( 0 \leq x \leq 3; \)
Неравенство имеет решения при:
\( 4 — x > 0; \)
\( x < 4; \)
Ответ: \( x \in [0; 3]. \)
4) \( 3 — x > 3\sqrt{1 — x^2}; \)
\( (3 — x)^2 > 9(1 — x^2); \)
\( 9 — 6x + x^2 > 9 — 9x^2; \)
\( 10x^2 — 6x > 0; \)
\( 2x(5x — 3) > 0; \)
\( x < 0 \) или \( x > 0,6; \)
Выражение имеет смысл при:
\( 1 — x^2 \geq 0; \)
\( x^2 — 1 \leq 0; \)
\( (x + 1)(x — 1) \leq 0; \)
\( -1 \leq x \leq 1; \)
Неравенство имеет решения при:
\( 3 — x > 0; \)
\( x < 3; \)
Ответ: \( x \in [-1; 0) \cup (0,6; 1]. \)
5) \( \sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1; \)\( x^2 + 3x + 3 < 4x^2 + 4x + 1; \) \( 3x^2 + x — 2 > 0; \)
Дискриминант:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1; \)
\( x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}; \)
\( (x + 1)\left(x — \frac{2}{3}\right) > 0; \)
\( x < -1 \) или \( x > \frac{2}{3}; \)
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 + 3x + 3 \geq 0; \)
\( D = 3^2 — 4 \cdot 3 = 9 — 12 = -3 < 0; \)
\( D < 0 \) и \( a > 0 \), значит \( x \in \mathbb{R}; \)
Неравенство имеет решения при:
\( 2x + 1 > 0; \)
\( 2x > -1; \)
\( x > -0,5; \)
Ответ: \( x \in \left( \frac{2}{3}; +\infty \right) \).
6) \( \sqrt{7x — x^2 — 6} < 2x + 3; \)
\( 7x — x^2 — 6 < 4x^2 + 12x + 9; \)
\( 5x^2 + 5x + 15 > 0 \;\; \Big| : 5; \)
\( x^2 + x + 3 > 0; \)
Дискриминант:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 3 = 1 — 12 = -11; \)
\( D < 0 \) и \( a > 0 \), значит \( x \in \mathbb{R}; \)
Выражение имеет смысл при:
\( 7x — x^2 — 6 \geq 0; \)
\( x^2 — 7x + 6 \leq 0; \)
Дискриминант:
\( D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25; \)
Корни:
\( x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6; \)
\( (x — 1)(x — 6) \leq 0; \)
\( 1 \leq x \leq 6; \)
Неравенство имеет решения при:
\( 2x + 3 > 0; \)
\( 2x > -3; \)
\( x > -1.5; \)
Ответ: \( x \in [1; 6] \).
Решить неравенство:
1) \( x > \sqrt{24 — 5x} \)
Запишем область определения исходного неравенства:
Подкоренное выражение \( 24 — 5x \geq 0 \), то есть \( x \leq 4.8 \).
Левая часть также должна быть положительной: \( x > 0 \).
Переходим к преобразованию:
\( x > \sqrt{24 — 5x} \) → возведём обе части в квадрат (так как обе стороны при наших ограничениях ≥ 0):
\( x^2 > 24 — 5x \)
\( x^2 + 5x — 24 > 0 \)
Находим корни квадратного трёхчлена:
\( D = 5^2 + 4 \cdot 24 = 25 + 96 = 121 \)
\( x_1 = \frac{-5 — 11}{2} = -8 \), \( x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3 \)
Знаки коэффициентов показывают, что ветви параболы вверх, значит, неравенство выполняется вне корней:
\( x < -8 \) или \( x > 3 \)
Учитываем ограничения \( x > 0 \) и \( x \leq 4.8 \), итоговый ответ — пересечение интервалов:
\( x \in (3; 4.8] \).
2) \( \sqrt{2x + 7} \leq x + 2 \)
Область определения:
Подкоренное: \( 2x + 7 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -3.5 \)
Правая часть: \( x + 2 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -2 \)
Преобразуем неравенство, возведя обе части в квадрат (при \( x + 2 \geq 0 \)):
\( 2x + 7 \leq (x + 2)^2 \)
\( 2x + 7 \leq x^2 + 4x + 4 \)
\( 0 \leq x^2 + 2x — 3 \)
\( x^2 + 2x — 3 \geq 0 \)
Находим корни:
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 16 \)
\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)
Рассматриваем интервалы, так как ветви вверх:
\( x \leq -3 \) или \( x \geq 1 \)
Пересекаем с областью определения (\( x \geq -2 \)), получаем:
\( x \geq 1 \)
Ответ: \( x \in [1; +\infty) \).
3) \( \sqrt{3x — x^2} < 4 — x \)
Область определения:
\( 3x — x^2 \geq 0 \Longrightarrow x^2 — 3x \leq 0 \Longrightarrow x(x — 3) \leq 0 \Longrightarrow 0 \leq x \leq 3 \)
\( 4 — x > 0 \Longrightarrow x < 4 \)
Преобразуем:
\( \sqrt{3x — x^2} < 4 — x \)
Возведём в квадрат (так как правая часть положительна на области определения):
\( 3x — x^2 < (4 — x)^2 \)
\( 3x — x^2 < 16 — 8x + x^2 \)
\( 0 < 16 — 8x + x^2 + x^2 — 3x \)
\( 0 < 16 — 11x + 2x^2 \)
\( 2x^2 — 11x + 16 > 0 \)
Дискриминант:
\( D = 121 — 128 = -7 \)
Дискриминант отрицательный и старший коэффициент положительный, поэтому выражение всегда положительно. Значит, квадратное неравенство выполняется при всех \( x \).
Итак, остаётся только область определения:
\( x \in [0; 3] \)
Ответ: \( x \in [0; 3] \).
4) \( 3 — x > 3\sqrt{1 — x^2} \)
Область определения:
\( 1 — x^2 \geq 0 \Longrightarrow -1 \leq x \leq 1 \)
\( 3 — x > 0 \Longrightarrow x < 3 \)
Преобразуем:
\( 3 — x > 3\sqrt{1 — x^2} \)
Разделим обе части на 3 (\( 3 > 0 \)), не меняя знак неравенства:
\( 1 — \frac{x}{3} > \sqrt{1 — x^2} \)
Возведём обе части в квадрат (в пределах области определения):
\( (3 — x)^2 > 9(1 — x^2) \)
\( 9 — 6x + x^2 > 9 — 9x^2 \)
\( 10x^2 — 6x > 0 \)
\( 2x(5x — 3) > 0 \)
\( x < 0 \) или \( x > 0.6 \)
Совмещаем с областью определения \( -1 \leq x \leq 1 \):
Получаем \( x \in [-1; 0) \cup (0.6; 1] \)
Ответ: \( x \in [-1; 0) \cup (0.6; 1] \).
5) \( \sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1 \)
Область определения:
\( x^2 + 3x + 3 \geq 0 \) — всегда выполняется, т.к. дискриминант < 0 и старший коэффициент > 0 (парабола вверх).
\( 2x + 1 > 0 \Longrightarrow x > -0.5 \)
Преобразуем:
\( x^2 + 3x + 3 < 4x^2 + 4x + 1 \)
\( 3x^2 + x — 2 > 0 \)
\( D = 1 + 24 = 25 \)
Корни: \( x_1 = -1, \; x_2 = \frac{2}{3} \)
Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный, решение вне корней:
\( x < -1 \) или \( x > \frac{2}{3} \)
Совмещаем с областью \( x > -0.5 \):
Ответ: \( x \in \left(\frac{2}{3}; +\infty\right) \).
6) \( \sqrt{7x — x^2 — 6} < 2x + 3 \)
Область определения:
\( 7x — x^2 — 6 \geq 0 \Longrightarrow x^2 — 7x + 6 \leq 0 \)
Дискриминант: \( D = 49 — 24 = 25 \)
Корни: \( x_1 = 1, \; x_2 = 6 \)
Значит, \( x \in [1; 6] \)
\( 2x + 3 > 0 \Longrightarrow x > -1.5 \)
Преобразуем:
\( 7x — x^2 — 6 < 4x^2 + 12x + 9 \)
\( 5x^2 + 5x + 15 > 0 \)
\( x^2 + x + 3 > 0 \) — всегда выполняется, т.к. дискриминант < 0 и старший коэффициент > 0.
Итоговое решение:
Ответ: \( x \in [1; 6] \)
