Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( \sqrt{9x — 20} < x; \)
2) \( \sqrt{x + 61} < x + 5; \)
3) \( 2\sqrt{4 — x^2} \leq x + 4; \)
4) \( \sqrt{x^2 + 4x — 5} < x — 3. \)
Решить неравенство:
1) \( \sqrt{9x — 20} < x; \)
Преобразуем неравенство:
\( 9x — 20 < x^2; \)
\( x^2 — 9x + 20 > 0; \)
Дискриминант:
\( D = 9^2 — 4 \cdot 20 = 81 — 80 = 1 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{9 — 1}{2} = 4 \),
\( x_2 = \frac{9 + 1}{2} = 5 \)
\( (x — 4)(x — 5) > 0; \)
\( x < 4 \) или \( x > 5; \)
Область допустимых значений:
\( 9x — 20 \geq 0 \Longrightarrow x \geq \frac{20}{9} \)
\( x > 0 \)
Ответ: \( x \in \left[ 2\frac{2}{9}; 4 \right) \cup (5; +\infty). \)
2) \( \sqrt{x + 61} < x + 5; \)
\( x + 61 < x^2 + 10x + 25; \)
\( x^2 + 9x — 36 > 0; \)
Дискриминант:
\( D = 9^2 + 4 \cdot 36 = 81 + 144 = 225 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-9 — 15}{2} = -12 \),
\( x_2 = \frac{-9 + 15}{2} = 3 \)
\( (x + 12)(x — 3) > 0; \)
\( x < -12 \) или \( x > 3 \)
ОДЗ:
\( x + 61 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -61 \)
\( x + 5 > 0 \Longrightarrow x > -5 \)
Ответ: \( x \in (3; +\infty) \)
3) \( 2\sqrt{4 — x^2} \leq x + 4; \)
Преобразуем неравенство:
\( 4(4 — x^2) \leq (x + 4)^2; \)
\( 16 — 4x^2 \leq x^2 + 8x + 16; \)
\( 16 — 4x^2 — x^2 — 8x — 16 \leq 0; \)
\( -5x^2 — 8x \leq 0; \)
\( 5x^2 + 8x \geq 0; \)
\( x(5x + 8) \geq 0; \)
\( x \leq -1.6 \) или \( x \geq 0; \)
Область допустимых значений:
\( 4 — x^2 \geq 0; \)
\( x^2 \leq 4; \)
\( -2 \leq x \leq 2; \)
Неравенство решения при:
\( x + 4 \geq 0 \rightarrow x \geq -4 \)
Ответ: \( x \in [-2; -1.6] \cup [0; 2] \)
4) \( \sqrt{x^2 + 4x — 5} < x — 3; \)
\( x^2 + 4x — 5 < x^2 — 6x + 9; \)
\( x^2 + 4x — 5 — x^2 + 6x — 9 < 0 \)
\( 10x < 14; \)
\( x < 1.4 \)
ОДЗ:
\( x — 3 > 0 \rightarrow x > 3 \)
Ответ: \( x \in \emptyset \)
Решить неравенство:
1) \( \sqrt{9x — 20} < x \)
Преобразуем неравенство, чтобы избавиться от корня: обе части неотрицательны при \( x > 0 \) и \( 9x — 20 \geq 0 \). Получаем:
\( 9x — 20 < x^2 \)
\( x^2 — 9x + 20 > 0 \)
Это квадратное неравенство. Найдём его корни:
Дискриминант:
\( D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1 \)
\( x_1 = \frac{9 — 1}{2} = 4 \)
\( x_2 = \frac{9 + 1}{2} = 5 \)
Поскольку перед \( x^2 \) стоит плюс, знак >0 вне корней:
\( (x — 4)(x — 5) > 0 \)
Значит, \( x < 4 \) или \( x > 5 \)
Теперь учтём ОДЗ (область допустимых значений):
Для существования корня: \( 9x — 20 \geq 0 \Longrightarrow x \geq \frac{20}{9} \approx 2.22 \)
Также из условия \( x > 0 \)
Ответ: \( x \in \left[ 2\frac{2}{9}; 4 \right) \cup (5; +\infty). \)
Подробное объяснение:
— На промежутке \( \left[ 2\frac{20}{9}, 4 \right) \) выполняется \( 9x — 20 \geq 0 \), \( x > 0 \), и \( x < 4 \)
— На промежутке \( (5; +\infty) \) тоже все условия выполняются, так как \( x > 5 >2 \frac{20}{9} \).
2) \( \sqrt{x + 61} < x + 5 \)
Преобразуем неравенство (левая и правая части определены при \( x \geq -61 \) и \( x + 5 > 0 \)):
\( x + 61 < x^2 + 10x + 25 \)
\( x^2 + 9x — 36 > 0 \)
Найдём корни квадратного трёхчлена:
\( D = 9^2 + 4 \cdot 36 = 81 + 144 = 225 \)
\( x_1 = \frac{-9 — 15}{2} = -12 \)
\( x_2 = \frac{-9 + 15}{2} = 3 \)
\( (x + 12)(x — 3) > 0 \Longrightarrow x < -12 \) или \( x > 3 \)
ОДЗ:
\( x + 61 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -61 \)
\( x + 5 > 0 \Longrightarrow x > -5 \)
Искомое множество — пересечение промежутков:
— \( x < -12 \) и \( x > -5 \): нет общих значений;
— \( x > 3 \) и \( x > -5 \): пересечение — \( x > 3 \)
Ответ: \( x \in (3; +\infty) \)
3) \( 2\sqrt{4 — x^2} \leq x + 4 \)
ОДЗ: \( 4 — x^2 \geq 0 \Longrightarrow -2 \leq x \leq 2 \)
Также правая часть определена при \( x + 4 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -4 \)
Преобразуем:
\( 2\sqrt{4 — x^2} \leq x + 4 \)
\( 4(4 — x^2) \leq (x + 4)^2 \)
\( 16 — 4x^2 \leq x^2 + 8x + 16 \)
\( 16 — 4x^2 — x^2 — 8x — 16 \leq 0 \)
\( -5x^2 — 8x \leq 0 \)
\( 5x^2 + 8x \geq 0 \)
\( x(5x + 8) \geq 0 \)
\( x \leq -1.6 \) или \( x \geq 0 \)
Пересекаем с ОДЗ:
— \( -2 \leq x \leq 2 \)
— \( x \leq -1.6 \): отрезок \( [-2; -1.6] \)
— \( x \geq 0 \): отрезок \( [0; 2] \)
Ответ: \( x \in [-2; -1.6] \cup [0; 2] \)
4) \( \sqrt{x^2 + 4x — 5} < x — 3 \)
ОДЗ: \( x^2 + 4x — 5 \geq 0 \)
Рассмотрим когда правая часть положительна: \( x — 3 > 0 \Longrightarrow x > 3 \)
Преобразуем:
\( x^2 + 4x — 5 < x^2 — 6x + 9 \)
\( x^2 + 4x — 5 — x^2 + 6x — 9 < 0 \)
\( 10x < 14 \Longrightarrow x < 1.4 \)
Сравним условия: \( x > 3 \) и \( x < 1.4 \) — несовместимы
Ответ: \( x \in \emptyset \)
