Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( \sqrt{2 — x} > x \);
2) \( \sqrt{x + 7} \geq x + 1; \)
3) \( \sqrt{x^2 — 1} > x; \)
4) \( \sqrt{x^2 — 2x} \geq 4 — x; \)
5) \( \sqrt{x^2 + x — 2} > x; \)
6) \( \sqrt{-x^2 + 6x — 5} > 8 — 2x. \)
Решить неравенство:
1) \( \sqrt{2 — x} > x; \)
\(2 — x > x^2;\)
\(x^2 + x — 2 < 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\) тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \)
и
\( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1; \)
\((x + 2)(x — 1) < 0;\)
\(-2 < x < 1; \)
Выражение имеет смысл при:
\(2 — x \geq 0; x \leq 2; \)
Неравенство всегда верно при:
\(x \leq 0; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; 1) \).
2) \( \sqrt{x + 7} \geq x + 1; \)
\(x + 7 \geq x^2 + 2x + 1; x^2 + x — 6 \leq 0; \)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2; \)
\((x + 3)(x — 2) \leq 0; -3 \leq x \leq 2; \)
Выражение имеет смысл при:
\(x + 7 \geq 0; x \geq -7; \)
Неравенство всегда верно при:
\(x + 1 \leq 0; x \leq -1; \)
Ответ: \( x \in [-7; 2] \).
3) \( \sqrt{x^2 — 1} > x; \)
\(x^2 — 1 > x^2;\)
\(x^2 — x^2 > 1;\)
\( 0x > 1;\)
\( x \in \emptyset;\)
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 1 \geq 0;\)
\( (x + 1)(x — 1) \geq 0;\)
\( x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1;\)
Неравенство всегда верно при:
\( x \leq 0;\)
Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \).
4) \( \sqrt{x^2 — 2x} \geq 4 — x; \)
\( x^2 — 2x \geq 16 — 8x + x^2; \)
\( 6x \geq 16; \)
\( 3x \geq 8; \)
\( x \geq 2\frac{2}{3}; \)
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 — 2x \geq 0; \)
\( x(x — 2) \geq 0; \)
\( x \leq 0 \) или \( x \geq 2; \)
Неравенство всегда верно при:
\( 4 — x \leq 0; \)
\( x \geq 4; \)
Ответ: \( x \in \left[ 2\frac{2}{3}; +\infty \right) \).
5) \( \sqrt{x^2 + x — 2} > x; \)
\( x^2 + x — 2 > x^2; \)
\( x > 2; \)
Выражение имеет смысл при:
\( x^2 + x — 2 \geq 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \) и
\( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1; \)
\( (x + 2)(x — 1) \geq 0; \)
\( x \leq -2 \) или \( x \geq 1; \)
Неравенство всегда верно при:
\( x \leq 0; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup (2; +\infty). \)
6) \( \sqrt{-x^2 + 6x — 5} > 8 — 2x; \)
\(-x^2 + 6x — 5 > 64 — 32x + 4x^2;\)
\(5x^2 — 38x + 69 < 0;\)
\( D = 38^2 — 4 \cdot 5 \cdot 69 = 1\,444 — 1\,380 = 64, \) тогда:
\( x_1 = \frac{38 — 8}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3; \)
\( x_2 = \frac{38 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{46}{10} = 4{,}6; \)
\((x — 3)(x — 4{,}6) < 0;\)
\(3 < x < 4{,}6;\)
Выражение имеет смысл при:
\(-x^2 + 6x — 5 \geq 0;\)
\(x^2 — 6x + 5 \leq 0;\)
\( D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \) тогда:
\( x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \) и
\( x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5; \)
\((x — 1)(x — 5) \leq 0;\)
\(1 \leq x \leq 5;\)
Неравенство всегда верно при:
\(8 — 2x \leq 0;\)
\(2x \geq 8;\)
\(x \geq 4;\)
Ответ: \( x \in (3;\; 5]. \)
Решить неравенство:
1) \( \sqrt{2 — x} > x; \)
Рассмотрим неравенство и подробно разберём каждый этап решения:
Преобразуем его так, чтобы подкоренное выражение оказалось отдельно:
\( \sqrt{2 — x} > x \).
Чтобы избавиться от корня, рассмотрим область допустимых значений (ОДЗ) этого выражения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\( 2 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 \).
Теперь преобразуем неравенство:
Возведём обе части неравенства в квадрат (при \( x \leq 2 \), знак неравенства не изменится, если \( x \geq 0 \), но для отрицательных x требуется отдельная проверка — см. ниже):
\( 2 — x > x^2 \).
Перенесём все члены в одну сторону:
\( x^2 + x — 2 < 0 \).
Решим квадратное неравенство. Сначала найдём корни квадратного трёхчлена:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \).
Находим корни:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \),
\( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \).
Значит, неравенство выполняется на промежутке между корнями:
\( (x + 2)(x — 1) < 0 \Rightarrow -2 < x < 1 \).
Но также не забываем про область допустимых значений: \( x \leq 2 \).
Проверим поведение неравенства при \( x \leq 0 \): если \( x \leq 0 \), то \( \sqrt{2 — x} \) всегда положительно, а правая часть (x) отрицательна или равна нулю, значит, неравенство автоматически выполняется.
Окончательно, с учётом ОДЗ и решения неравенства:
Ответ: \( x \in (-\infty; 1) \).
2) \( \sqrt{x + 7} \geq x + 1; \)
Определим ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
\( x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -7 \).
Преобразуем неравенство:
Возведём обе части в квадрат (при \( x + 1 \geq 0 \)), но учтём дополнительный случай, когда \( x + 1 < 0 \), поскольку при отрицательной правой части левое выражение всегда не меньше.
\( x + 7 \geq (x + 1)^2 \Rightarrow x + 7 \geq x^2 + 2x + 1 \).
\( x + 7 — x^2 — 2x — 1 \geq 0 \Rightarrow -x^2 — x + 6 \geq 0 \Rightarrow x^2 + x — 6 \leq 0 \).
Найдём корни:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \).
\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \),
\( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \).
Значит, \( -3 \leq x \leq 2 \).
Теперь рассмотрим случай \( x + 1 < 0 \), т.е. \( x < -1 \). В этом случае, так как \( \sqrt{x + 7} \geq 0 \), а \( x + 1 < 0 \), неравенство выполняется автоматически для всех \( x \geq -7 \) и \( x < -1 \). Но эти значения входят в найденный ранее промежуток. Проверяем пересечение:
Итак, окончательный ответ — пересечение всех условий:
Ответ: \( x \in [-7; 2] \).
3) \( \sqrt{x^2 — 1} > x; \)
ОДЗ: \( x^2 — 1 \geq 0 \Rightarrow x \leq -1 \) или \( x \geq 1 \).
Преобразуем неравенство, возводя обе части в квадрат (учитывая, что \( x \geq 0 \) — если нет, анализ проводится отдельно):
\( x^2 — 1 > x^2 \Rightarrow x^2 — x^2 > 1 \Rightarrow 0 > 1 \) — это неверно.
Следовательно, нет ни одного решения при \( x \geq 1 \). Рассмотрим \( x \leq -1 \):
Для \( x \leq -1 \), \( x \) всегда отрицательно, а \( \sqrt{x^2 — 1} \) неотрицательно, значит, неравенство всегда выполняется, если только выражение имеет смысл:
Значит, решение — весь промежуток ОДЗ для \( x \leq -1 \):
Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \).
4) \( \sqrt{x^2 — 2x} \geq 4 — x; \)
ОДЗ: \( x^2 — 2x \geq 0 \Rightarrow x(x — 2) \geq 0 \Rightarrow x \leq 0 \) или \( x \geq 2 \).
Рассмотрим неравенство:
Возведём обе части в квадрат:
\( x^2 — 2x \geq (4 — x)^2 \Rightarrow x^2 — 2x \geq 16 — 8x + x^2 \Rightarrow 6x \geq 16 \Rightarrow x \geq 2\frac{2}{3} \).
Неравенство всегда верно при \( 4 — x \leq 0 \Rightarrow x \geq 4 \).
Ответ: \( x \in \left[ 2\frac{2}{3}; +\infty \right) \), но с учётом ОДЗ (только \( x \geq 2 \)), окончательно:
Ответ: \( x \in \left[ 2\frac{2}{3}; +\infty \right) \).
5) \( \sqrt{x^2 + x — 2} > x; \)
ОДЗ: \( x^2 + x — 2 \geq 0 \). Найдём корни:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \)
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \).
\( (x + 2)(x — 1) \geq 0 \Rightarrow x \leq -2 \) или \( x \geq 1 \).
Само неравенство:
\( x^2 + x — 2 > x^2 \Rightarrow x > 2 \).
Пересекаем с ОДЗ:
Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup (2; +\infty) \).
6) \( \sqrt{-x^2 + 6x — 5} > 8 — 2x; \)
ОДЗ: \( -x^2 + 6x — 5 \geq 0 \). Преобразуем: \( x^2 — 6x + 5 \leq 0 \).
\( D = 36 — 20 = 16 \), \( x_1 = 1, x_2 = 5 \Rightarrow 1 \leq x \leq 5 \).
Рассмотрим неравенство:
\( -x^2 + 6x — 5 > 64 — 32x + 4x^2 \Rightarrow 5x^2 — 38x + 69 < 0 \).
Найдём корни: \( D = 38^2 — 4 \cdot 5 \cdot 69 = 1444 — 1380 = 64 \).
\( x_1 = \frac{38 — 8}{10} = 3 \), \( x_2 = \frac{38 + 8}{10} = 4.6 \).
Промежуток решения: \( 3 < x < 4.6 \).
Неравенство всегда верно при \( 8 — 2x \leq 0 \Rightarrow x \geq 4 \).
Ответ с учётом ОДЗ: \( x \in (3; 5] \).
