Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( \sqrt{x + 2} > x; \)
2) \( \sqrt{2x + 14} > x + 3; \)
3) \( \sqrt{x^2 — 5x — 24} \geq x + 2; \)
4) \( \sqrt{x^2 + 4x — 5} > x — 3. \)
Решить неравенство:
1) \( \sqrt{(x + 2)} > x \);
\((x + 2) > x^2;\)
\(\left(x^2 — x — 2\right) < 0;\)
\(D = (1)^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда:
\( x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2; \)
\((x + 1)(x — 2) < 0;\)
\(-1 < x < 2;\)
Выражение имеет смысл при:
\((x + 2) \geq 0;\)
\(x \geq -2;\)
Неравенство всегда верно при:
\(x \leq 0;\)
Ответ: \( x \in [-2; 2) \).
2) \( \sqrt{(2x + 14)} > (x + 3); \)
\((2x + 14) > (x + 3)^2;\)
\(2x + 14 > x^2 + 6x + 9;\)
\((x^2 + 4x — 5) < 0;\)
\(D = (4)^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36\), тогда:
\( x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1; \)
\((x + 5)(x — 1) < 0;\)
\(-5 < x < 1;\)
Выражение имеет смысл при:
\((2x + 14) \geq 0;\)
\(2x \geq -14;\)
\(x \geq -7;\)
Неравенство всегда верно при:
\((x + 3) \leq 0;\)
\(x \leq -3;\)
Ответ: \( x \in [-7; 1) \).
3) \( \sqrt{(x^2 — 5x — 24)} \geq (x + 2); \)
\((x^2 — 5x — 24) \geq (x + 2)^2;\)
\(x^2 — 5x — 24 \geq x^2 + 4x + 4;\)
\(9x \leq -28;\)
\(x \leq -3\frac{1}{9};\)
Выражение имеет смысл при:
\((x^2 — 5x — 24) \geq 0;\)
\(D = (5)^2 + 4 \cdot 24 = 25 + 96 = 121\), тогда:
\( x_1 = \frac{5 — 11}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{5 + 11}{2} = 8; \)
\((x + 3)(x — 8) \geq 0;\)
\(x \leq -3 \) или \( x \geq 8;\)
Неравенство всегда верно при:
\((x + 2) \leq 0;\)
\(x \leq -2;\)
Ответ: \( x \in (-\infty; -3] \).
4) \( \sqrt{(x^2 + 4x — 5)} > (x — 3); \)
\((x^2 + 4x — 5) > (x — 3)^2;\)
\(x^2 + 4x — 5 > x^2 — 6x + 9;\)
\(10x > 14;\)
\(x > 1{,}4;\)
Выражение имеет смысл при:
\((x^2 + 4x — 5) \geq 0;\)
\(D = (4)^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36\), тогда:
\( x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1; \)
\((x + 5)(x — 1) \geq 0;\)
\(x \leq -5 \) или \( x \geq 1;\)
Неравенство всегда верно при:
\((x — 3) \leq 0;\)
\(x \leq 3;\)
Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty) \).
Решить неравенство:
1) \( \sqrt{(x + 2)} > x \);
ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( (x + 2) \geq 0 \). Значит, \( x \geq -2 \).
Переносим все в одну часть: \( \sqrt{(x + 2)} > x \). Для решения возведём обе части в квадрат (это допустимо, так как обе стороны при \( x \geq -2 \) неотрицательны):
\( (x + 2) > x^2 \).
Переносим всё в одну сторону: \( x + 2 — x^2 > 0 \), или \( -x^2 + x + 2 > 0 \), или \( x^2 — x — 2 < 0 \).
Это квадратное неравенство. Найдём его корни:
\( D = (1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \),
Корни: \( x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).
Знак квадратного трёхчлена (коэффициент при \( x^2 \) положительный), значит, неравенство выполняется между корнями:
\((x + 1)(x — 2) < 0\), то есть \( -1 < x < 2 \).
Пересекаем с ОДЗ: \( x \geq -2 \). Итоговый промежуток: \( -1 < x < 2 \) и \( x \geq -2 \), но для \( x \leq 0 \) неравенство выполняется автоматически, так как правая часть меньше или равна нулю, а левая положительна. Поэтому решением будет объединение этих промежутков, то есть \( x \in [-2; 2) \).
Ответ: \( x \in [-2; 2) \).
2) \( \sqrt{(2x + 14)} > (x + 3); \)
ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, то есть \( 2x + 14 \geq 0 \), значит, \( x \geq -7 \).
Переносим все в одну часть: \( \sqrt{(2x + 14)} > (x + 3) \). Для решения возведём обе части в квадрат:
\( (2x + 14) > (x + 3)^2 \).
Раскрываем скобки: \( 2x + 14 > x^2 + 6x + 9 \).
Соберём всё в одну сторону: \( 2x + 14 — x^2 — 6x — 9 > 0 \),
\( -x^2 — 4x + 5 > 0 \), или \( x^2 + 4x — 5 < 0 \).
Это квадратное неравенство. Найдём его корни:
\( D = (4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \),
Корни: \( x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \), \( x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \).
Знак квадратного трёхчлена (коэффициент при \( x^2 \) положительный), неравенство выполняется между корнями:
\((x + 5)(x — 1) < 0\), то есть \( -5 < x < 1 \).
Учитываем ОДЗ: \( x \geq -7 \).
Рассмотрим, когда \( x + 3 \leq 0 \), то есть \( x \leq -3 \). В этом случае правая часть неравенства отрицательна, а левая всегда неотрицательна, значит неравенство выполняется для всех \( x \geq -7 \) и \( x \leq -3 \).
Объединяя промежутки: \( x \in [-7; 1) \).
Ответ: \( x \in [-7; 1) \).
3) \( \sqrt{(x^2 — 5x — 24)} \geq (x + 2); \)
ОДЗ: \( x^2 — 5x — 24 \geq 0 \).
Выпишем это неравенство: дискриминант \( D = (5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \).
Корни: \( x_1 = \frac{5 — 11}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{5 + 11}{2} = 8 \).
Знак квадратного трёхчлена положителен при \( x \leq -3 \) или \( x \geq 8 \).
Преобразуем основное неравенство:
\( x^2 — 5x — 24 \geq (x + 2)^2 \).
Раскрываем скобки: \( x^2 — 5x — 24 \geq x^2 + 4x + 4 \).
Вычитаем \( x^2 \): \( -5x — 24 \geq 4x + 4 \).
Соберём все x в одну сторону: \( -5x — 4x \geq 4 + 24 \), \( -9x \geq 28 \), \( x \leq -\frac{28}{9} \), \( x \leq -3\frac{1}{9} \).
Учитывая ОДЗ, пересечение условий: \( x \leq -3 \) и \( x \leq -3\frac{1}{9} \) даёт \( x \leq -3 \).
Рассмотрим, когда \( x + 2 \leq 0 \), то есть \( x \leq -2 \). Для этих x неравенство выполняется всегда.
Объединяя с ОДЗ, получаем \( x \leq -3 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -3] \).
4) \( \sqrt{(x^2 + 4x — 5)} > (x — 3); \)
ОДЗ: \( x^2 + 4x — 5 \geq 0 \).
Дискриминант: \( D = (4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \).
Корни: \( x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \), \( x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \).
Подкоренное выражение неотрицательно при \( x \leq -5 \) или \( x \geq 1 \).
Преобразуем основное неравенство:
\( x^2 + 4x — 5 > (x — 3)^2 \).
Раскрываем скобки: \( x^2 + 4x — 5 > x^2 — 6x + 9 \).
Сокращаем \( x^2 \): \( 4x — 5 > -6x + 9 \).
Собираем x в одну сторону: \( 4x + 6x > 9 + 5 \), \( 10x > 14 \), \( x > 1.4 \).
Учитываем ОДЗ: \( x \geq 1 \).
Пересекаем с найденным решением:
Промежутки \( x \leq -5 \) и \( x > 1.4 \) с учётом ОДЗ дают \( x \in (-\infty; -5] \cup (1.4; +\infty) \).
Однако, для \( x — 3 \leq 0 \), то есть \( x \leq 3 \), неравенство всегда верно.
Окончательно, объединяя оба промежутка, ответ:
Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty) \).
