Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( (x^2 + 6x + 5)(x^2 — 3x) > 0; \)
2) \( \frac{x^2 + x — 12}{x^2 — 64} \geq 0; \)
3) \( \frac{x^2 + 5x}{x — 1} \geq \frac{14}{x — 1}; \)
4) \( \frac{x^2 — 4x}{x — 2} \leq 3. \)
Решить неравенство:
1) \( (x^2 + 6x + 5)(x^2 — 3x) > 0; \)
Первое выражение:
\( x^2 + 6x + 5 = 0; \)
\( D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-6 — 4}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1; \)
Неравенство:
\((x + 5)(x + 1)x(x — 3) > 0; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (3; +\infty) \).
2) \( \frac{x^2 + x — 12}{x^2 — 64} \geq 0; \)
Первое выражение:
\( x^2 + x — 12 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3; \)
Неравенство:
\( \frac{(x + 4)(x — 3)}{(x — 8)(x + 8)} \geq 0; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -8) \cup [-4; 3] \cup (8; +\infty) \).
3) \( \frac{x^2 + 5x}{x — 1} \geq \frac{14}{x — 1}; \)
\( \frac{x^2 + 5x — 14}{x — 1} \geq 0; \)
Первое выражение:
\( x^2 + 5x — 14 \geq 0; \)
\( D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-5 — 9}{2} = -7 \) и \( x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2; \)
Неравенство:
\( \frac{(x + 7)(x — 2)}{x — 1} \geq 0; \)
\( (x + 7)(x — 1)(x — 2) \geq 0; \)
Ответ: \( x \in [-7; 1) \cup [2; +\infty) \).
4) \( \frac{x^2 — 4x}{x — 2} \leq 3; \)
\( \frac{x^2 — 4x — 3(x — 2)}{x — 2} \leq 0; \)
\( \frac{x^2 — 4x — 3x + 6}{x — 2} \leq 0; \)
\( \frac{x^2 — 7x + 6}{x — 2} \leq 0; \)
Первое выражение:
\( x^2 — 7x + 6 = 0; \)
\( D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25, \) тогда:
\( x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6; \)
Неравенство:
\( \frac{(x — 1)(x — 6)}{x — 2} \leq 0; \)
\( (x — 1)(x — 2)(x — 6) \leq 0; \)
Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup (2; 6] \).
Решить неравенство:
1) \( (x^2 + 6x + 5)(x^2 — 3x) > 0; \)
Рассмотрим каждую скобку по отдельности и подробно разложим выражение:
Первый множитель: \( x^2 + 6x + 5 \). Это квадратный трехчлен. Найдём его корни:
Выпишем дискриминант: \( D = (6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 \).
Вычислим корни по формуле:
\( x_1 = \frac{-6 — 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
\( x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Значит, \( x^2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1) \).
Второй множитель: \( x^2 — 3x = x(x — 3) \).
Итак, исходное неравенство преобразуется к виду:
\((x + 5)(x + 1)x(x — 3) > 0\).
Найдём все нули выражения: \( x = -5, -1, 0, 3 \).
На числовой прямой отметим эти точки и определим знаки на промежутках. Многочлен четвёртой степени, старший коэффициент положительный (при больших x знак ‘+’).
Промежутки: \( (-\infty, -5),\ (-5, -1),\ (-1, 0),\ (0, 3),\ (3, +\infty) \)
Выражение положительно на промежутках, где количество минусов чётное (или на первом, третьем и пятом промежутках):
Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (3; +\infty) \).
2) \( \frac{x^2 + x — 12}{x^2 — 64} \geq 0; \)
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: \( x^2 + x — 12 = 0 \). Дискриминант \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \).
Корни: \( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \), \( x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \).
Итак, числитель: \( (x + 4)(x — 3) \).
Знаменатель: \( x^2 — 64 = (x — 8)(x + 8) \).
Общий вид неравенства:
\( \frac{(x + 4)(x — 3)}{(x — 8)(x + 8)} \geq 0 \).
Нули и точки разрыва: \( x = -8, -4, 3, 8 \).
Выпишем промежутки и анализируем знаки, учитывая, что в знаменателе не должно быть нуля (точки \( x = -8, 8 \) не входят в решение).
Промежутки: \( (-\infty, -8),\ (-8, -4),\ (-4, 3),\ (3, 8),\ (8, +\infty) \)
Выражение неотрицательно там, где стоит знак ‘+’, включая точки, в которых числитель обращается в ноль, но не знаменатель.
Ответ: \( x \in (-\infty; -8) \cup [-4; 3] \cup (8; +\infty) \).
3) \( \frac{x^2 + 5x}{x — 1} \geq \frac{14}{x — 1}; \)
Приведём к общему знаменателю:
\( \frac{x^2 + 5x — 14}{x — 1} \geq 0 \).
Числитель: \( x^2 + 5x — 14 \). Дискриминант \( D = 25 + 56 = 81 \).
Корни: \( x_1 = \frac{-5 — 9}{2} = -7 \), \( x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2 \).
Числитель: \( (x + 7)(x — 2) \), знаменатель: \( x — 1 \).
Итак, выражение:
\( \frac{(x + 7)(x — 2)}{x — 1} \geq 0 \).
Или, если раскрыть скобки, в числителе будут точки \( x = -7, 2 \), а в знаменателе \( x = 1 \) (точка разрыва).
Обозначим промежутки: \( (-\infty, -7),\ [-7, 1),\ (1, 2],\ (2, +\infty) \).
Знак выражения меняется в каждой точке. Решение включает промежутки, где выражение неотрицательно, а также точки, где числитель обращается в ноль (если в них знаменатель не обращается в ноль).
Ответ: \( x \in [-7; 1) \cup [2; +\infty) \).
4) \( \frac{x^2 — 4x}{x — 2} \leq 3; \)
Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
\( \frac{x^2 — 4x — 3(x — 2)}{x — 2} \leq 0; \)
\( x^2 — 4x — 3x + 6 = x^2 — 7x + 6 \), значит:
\( \frac{x^2 — 7x + 6}{x — 2} \leq 0; \)
Числитель: \( x^2 — 7x + 6 = 0 \), дискриминант \( D = 49 — 24 = 25 \).
Корни: \( x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6 \).
Запишем дробь: \( \frac{(x — 1)(x — 6)}{x — 2} \leq 0 \).
Итак, критические точки: \( x = 1, 2, 6 \). Точка \( x = 2 \) — разрыв, не входит в ответ.
Промежутки: \( (-\infty, 1],\ (1, 2),\ (2, 6],\ (6, +\infty) \).
Выражение меньше или равно нулю на промежутках \( (-\infty; 1] \cup (2; 6] \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup (2; 6] \).
