Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите систему неравенств:
1) \( \begin{cases}
2x^2 + 13x — 7 \leq 0, \\
15 — 3x \leq 0;
\end{cases} \)
2) \( \begin{cases}
x^2 + 6x — 40 < 0, \\
x^2 + 3x — 18 \geq 0.
\end{cases} \)
Решить систему неравенств:
1) \(
\begin{cases}
2x^2 + 13x — 7 \leq 0 \\
15 — 3x \leq 0
\end{cases}
\)
Первое неравенство:
\( 2x^2 + 13x — 7 \leq 0; \)
\( D = 13^2 + 4 \cdot 2 \cdot 7 = 169 + 56 = 225, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-13 — 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7; \)
\( x_2 = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5; \)
\( (x + 7)(x — 0.5) \leq 0; \)
\( -7 \leq x \leq 0.5; \)
Второе неравенство:
\( 15 — 3x \leq 0; \)
\( 3x \geq 15; \)
\( x \geq 5; \)
Ответ: \( x \in \emptyset\) (так как промежутки не пересекаются).
2) \(
\begin{cases}
x^2 + 6x — 40 < 0 \\
x^2 + 3x — 18 \geq 0
\end{cases}
\)
Первое неравенство:
\( x^2 + 6x — 40 < 0 \);
\( D = 6^2 + 4 \cdot 40 = 36 + 160 = 196 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-6 — 14}{2} = -10 \) и \( x_2 = \frac{-6 + 14}{2} = 4 \);
\( (x + 10)(x — 4) < 0 \);
\( -10 < x < 4 \);
Второе неравенство:
\( x^2 + 3x — 18 \geq 0 \);
\( D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 9}{2} = -6 \) и \( x_2 = \frac{-3 + 9}{2} = 3 \);
\( (x + 6)(x — 3) \geq 0 \);
\( x \leq -6 \) или \( x \geq 3 \);
Объединяя решения двух неравенств, получаем:
Ответ: \( x \in (-10; -6] \cup [3; 4) \).
Решить систему неравенств:
1) \(
\begin{cases}
2x^2 + 13x — 7 \leq 0 \\
15 — 3x \leq 0
\end{cases}
\)
Рассмотрим первое неравенство:
\( 2x^2 + 13x — 7 \leq 0 \)
Это квадратное неравенство, приведём его к стандартному виду и найдём корни.
Выпишем коэффициенты: \( a = 2, \; b = 13, \; c = -7 \).
Дискриминант:
\( D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 \)
Корни по формуле:
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
\( x_1 = \frac{-13 — 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7 \)
\( x_2 = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \)
Промежуток между корнями (так как ветви параболы вверх):
\( (x + 7)(x — 0.5) \leq 0 \Rightarrow -7 \leq x \leq 0.5 \)
Второе неравенство:
\( 15 — 3x \leq 0 \)
Перенесём слагаемые:
\( -3x \leq -15 \Rightarrow 3x \geq 15 \Rightarrow x \geq 5 \)
Теперь ищем пересечение найденных промежутков:
Из первого неравенства: \( -7 \leq x \leq 0.5 \), из второго — \( x \geq 5 \).
Явно видно, что пересечение отсутствует, то есть система не имеет решений:
Ответ: \( x \in \emptyset \)
2) \(
\begin{cases}
x^2 + 6x — 40 < 0 \\
x^2 + 3x — 18 \geq 0
\end{cases}
\)
Первое неравенство:
\( x^2 + 6x — 40 < 0 \)
Находим корни уравнения \( x^2 + 6x — 40 = 0 \):
\( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196 \)
\( x_1 = \frac{-6 — 14}{2} = -10 \), \( x_2 = \frac{-6 + 14}{2} = 4 \)
Промежуток отрицательности для параболы, ветви вверх:
\( (x + 10)(x — 4) < 0 \Rightarrow -10 < x < 4 \)
Второе неравенство:
\( x^2 + 3x — 18 \geq 0 \)
Находим корни: \( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \)
\( x_1 = \frac{-3 — 9}{2} = -6 \), \( x_2 = \frac{-3 + 9}{2} = 3 \)
Промежутки знаков для квадратного трёхчлена (ветви вверх):
\( (x + 6)(x — 3) \geq 0 \Rightarrow x \leq -6 \) или \( x \geq 3 \)
Находим пересечение двух решений:
Из первого неравенства: \( -10 < x < 4 \)
Из второго: \( x \leq -6 \) или \( x \geq 3 \)
Пересечение:
Для \( x \leq -6 \): \( -10 < x \leq -6 \) — это промежуток \( (-10; -6] \)
Для \( x \geq 3 \): \( 3 \leq x < 4 \) — это промежуток \( [3; 4) \)
Итоговый ответ:
\( x \in (-10; -6] \cup [3; 4) \)
