ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Какие координаты имеет точка единичной окружности, полученная при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на угол:

1) \(\frac{3\pi}{2}; \)

2) \(3\pi; \)

3) \(-\frac{\pi}{2}; \)

4) \(180^\circ; \)

5) \(-540^\circ; \)

Найти координаты точки единичной окружности, полученной при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на угол:

1) \( a = \frac{3\pi}{2} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{2} \right) = 270^\circ = 360^\circ — 90^\circ; \)

Ответ: \( (0; -1). \)

2) \( a = 3\pi = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot 3\pi \right) = 540^\circ = 360^\circ + 180^\circ; \)

Ответ: \( (-1; 0). \)

3) \( a = -\frac{\pi}{2} = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = -90^\circ; \)

Ответ: \( (0; -1). \)

4) \( a = 180^\circ; \)

Ответ: \( (-1; 0). \)

5) \( a = -540^\circ = -360^\circ — 180^\circ; \)

Ответ: \( (-1; 0). \)

Найти координаты точки единичной окружности, полученной при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на угол:

1) \( a = \frac{3\pi}{2} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{2} \right) = 270^\circ = 360^\circ — 90^\circ; \)

При повороте на угол \( 270^\circ \), точка на единичной окружности перемещается на ось \( y \) в нижнюю полуплоскость, оказываясь в точке, где её координаты равны \( (0; -1) \). Это также можно интерпретировать как поворот на полный круг (\( 360^\circ \)) минус \( 90^\circ \).

Ответ: \( (0; -1). \)

2) \( a = 3\pi = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot 3\pi \right) = 540^\circ = 360^\circ + 180^\circ; \)

При повороте на угол \( 540^\circ \), точка сначала совершает полный круг (\( 360^\circ \)) и затем ещё поворачивается на \( 180^\circ \), что приводит её на противоположную сторону окружности, на ось \( x \), в точку \( (-1; 0) \).

Ответ: \( (-1; 0). \)

3) \( a = -\frac{\pi}{2} = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = -90^\circ; \)

При повороте на угол \( -90^\circ \), точка перемещается по часовой стрелке, достигая нижней части окружности, на оси \( y \). Это аналогично предыдущему случаю с углом \( 270^\circ \), только с отрицательным значением угла.

Ответ: \( (0; -1). \)

4) \( a = 180^\circ; \)

При повороте на угол \( 180^\circ \), точка перемещается на противоположную сторону окружности, оставаясь на оси \( x \). Это означает, что точка перемещается в точку \( (-1; 0) \), что является результатом поворота на половину полного круга.

Ответ: \( (-1; 0). \)

5) \( a = -540^\circ = -360^\circ — 180^\circ; \)

При повороте на угол \( -540^\circ \), точка сначала делает полный оборот в обратную сторону (\( -360^\circ \)) и затем ещё поворачивается на \( -180^\circ \), что возвращает её в точку \( (-1; 0) \) на оси \( x \), аналогично повороту на \( 180^\circ \).

Ответ: \( (-1; 0). \)