ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку \( P_0(1; 0) \), чтобы получить точку:

1) \( P_1(0; 1); \)

2) \( P_2(-1; 0); \)

3) \( P_3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right); \)

4) \( P_4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right); \)

Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку \( P_0(1; 0) \), чтобы получить точку:

1) \( P_1(0; 1); \)

\( a = 90^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 90^\circ = \frac{\pi}{2}; \)

Ответ: \( \frac{\pi}{2} + 2k\pi. \)

2) \( P_2(-1; 0); \)

\( a = 180^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 180^\circ = \pi; \)

Ответ: \( \pi + 2k\pi. \)

3) \( P_3\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right); \)

\( OA = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; AP_3 = \frac{1}{2}, \; OP_3 = 1; \)

\( \angle AOP_3 = 30^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 30^\circ = \frac{\pi}{6}; \)

\( \angle P_0P_3 = -\angle AOP_3 = -\frac{\pi}{6}; \)

Ответ: \( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi. \)

4) \( P_4 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right); \)

\( OA = AP_4 = \frac{\sqrt{2}}{2}, \; OP_4 = 1; \)

\( \angle AOP_4 = 45^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 45^\circ = \frac{\pi}{4}; \)

\( \angle P_0P_4 = 180^\circ — \angle AOP_4 = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}; \)

Ответ: \( \frac{3\pi}{4} + 2k\pi. \)

Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку \( P_0(1; 0) \), чтобы получить точку:

1) \( P_1(0; 1); \)

Поворот на угол \( 90^\circ \) означает, что точка \( P_0(1; 0) \) перемещается на ось \( y \) в положительную часть. Это самый минимальный угол для получения точки на оси \( y \).

\( a = 90^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 90^\circ = \frac{\pi}{2}; \)

Ответ: \( \frac{\pi}{2} + 2k\pi. \)

2) \( P_2(-1; 0); \)

Поворот на угол \( 180^\circ \) перемещает точку на противоположную сторону окружности, на ось \( x \) в её отрицательную часть.

\( a = 180^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 180^\circ = \pi; \)

Ответ: \( \pi + 2k\pi. \)

3) \( P_3\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right); \)

Дано, что \( OA = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; AP_3 = \frac{1}{2}, \; OP_3 = 1; \)

Угол между векторами \( OA \) и \( OP_3 \) равен \( \angle AOP_3 = 30^\circ \), который мы переводим в радианы:

\( \angle AOP_3 = 30^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 30^\circ = \frac{\pi}{6}; \)

Так как точка \( P_3 \) находится в III четверти, угол поворота для \( P_0(1; 0) \) будет отрицательным:

\( \angle P_0P_3 = -\angle AOP_3 = -\frac{\pi}{6}; \)

Ответ: \( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi. \)

4) \( P_4\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right); \)

Дано, что \( OA = AP_4 = \frac{\sqrt{2}}{2}, \; OP_4 = 1; \)

Угол между векторами \( OA \) и \( OP_4 \) равен \( \angle AOP_4 = 45^\circ \), который мы переводим в радианы:

\( \angle AOP_4 = 45^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 45^\circ = \frac{\pi}{4}; \)

Для того чтобы получить точку \( P_4 \), поворачиваем на угол \( 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ \), что соответствует углу \( \frac{3\pi}{4} \) в радианах:

\( \angle P_0P_4 = 180^\circ — \angle AOP_4 = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}; \)

Ответ: \( \frac{3\pi}{4} + 2k\pi. \)