ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку \( P_0(1; 0) \), чтобы получить точку:

1) \( P_1(0; -1); \)

2) \( P_2\left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right); \)

3) \( P_3\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right); \)

Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку \( P_0(1; 0) \), чтобы получить точку:

1) \( P_1(0; -1); \)

\( a = -90^\circ = -\frac{\pi}{180^\circ} \cdot 90^\circ = -\frac{\pi}{2}; \)

Ответ: \( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi. \)

2) \( P_2 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right); \)

\( OA = \frac{1}{2}, \; AP_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; OP_3 = 1; \)

\( \angle OP_3A = 30^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 30^\circ = \frac{\pi}{6}; \)

\( \angle AOP_3 = 90^\circ — \angle OP_3A = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}; \)

\( \angle P_0P_3 = \angle AOP_3 = \frac{\pi}{3}; \)

Ответ: \( \frac{\pi}{3} + 2k\pi. \)

3) \( P_3 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right); \)

\( OA = AP_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, \; OP_3 = 1; \)

\( \angle AOP_3 = 45^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 45^\circ = \frac{\pi}{4}; \)

\( \angle P_0P_3 = 180^\circ + \angle AOP_3 = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}; \)

Ответ: \( -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi. \)

Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку \( P_0(1; 0) \), чтобы получить точку:

1) \( P_1(0; -1); \)

Поворот на угол \( -90^\circ \) означает, что точка \( P_0(1; 0) \) перемещается на ось \( y \) в нижнюю полуплоскость, в точку, которая соответствует \( P_1(0; -1) \). Этот угол является наименьшим углом для получения точки на оси \( y \) в нижней части.

\( a = -90^\circ = -\frac{\pi}{180^\circ} \cdot 90^\circ = -\frac{\pi}{2}; \)

Ответ: \( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi. \)

2) \( P_2 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right); \)

Дано, что \( OA = \frac{1}{2}, \; AP_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; OP_3 = 1; \)

Угол между векторами \( OA \) и \( OP_3 \) равен \( \angle OP_3A = 30^\circ \), который мы переводим в радианы:

\( \angle OP_3A = 30^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 30^\circ = \frac{\pi}{6}; \)

Так как точка \( P_3 \) находится в первой четверти, угол поворота для \( P_0(1; 0) \) будет положительным:

\( \angle AOP_3 = 90^\circ — \angle OP_3A = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}; \)

Ответ: \( \frac{\pi}{3} + 2k\pi. \)

3) \( P_3 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right); \)

Дано, что \( OA = AP_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, \; OP_3 = 1; \)

Угол между векторами \( OA \) и \( OP_3 \) равен \( \angle AOP_3 = 45^\circ \), который мы переводим в радианы:

\( \angle AOP_3 = 45^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 45^\circ = \frac{\pi}{4}; \)

Для того чтобы получить точку \( P_3 \), поворачиваем на угол \( 180^\circ + 45^\circ = 135^\circ \), что соответствует углу \( -\frac{3\pi}{4} \) в радианах:

\( \angle P_0P_3 = 180^\circ + \angle AOP_3 = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}; \)

Ответ: \( -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi. \)