ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на углы:

1) \( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}; \)

2) \( -\frac{\pi}{2} + 4\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

3) \( \frac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

4) \( \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

5) \( 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

6) \( \frac{\pi k}{3}, \, k \in \mathbb{Z}. \)

Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на углы:

1) \( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}; \)

\( a = \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{6} = 30^\circ; \)

\( \angle P_0 P_3 = 30^\circ, \, OP_3 = 1; \)

\( AP_3 = \frac{1}{2} OP_3 = \frac{1}{2}; \)

\( OA = \sqrt{(OP_3)^2 — (AP_3)^2} = \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)

Ответ: \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right). \)

2) \( \frac{\pi}{2} + 4\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

\( a = -\frac{\pi}{2} + 4\pi k = -\frac{\pi}{2} = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = -90^\circ; \)

Ответ: \( (0; -1). \)

3) \( \frac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Если \( k = 2n \), тогда:

\( a = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = 90^\circ; \)

Если \( k = 2n — 1 \), тогда:

\( a = \frac{\pi}{2} + 2\pi n — \pi = -\frac{\pi}{2} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = -90^\circ; \)

Ответ: \( (0; -1); (0; 1). \)

4) \( \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Если \( k = 2n \), тогда:

\( a = 2\pi n + 0^\circ = 0^\circ; \)

Если \( k = 2n + 1 \), тогда:

\( a = 2\pi n + \pi = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \pi \right) = 180^\circ; \)

Ответ: \( (-1; 0); (1; 0). \)

5) \( 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

\( a = 2\pi k = 0^\circ; \)

Ответ: \( (1; 0). \)

6) \( \frac{\pi k}{3}, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Если \( k = 6n \), тогда:

\( a = \frac{6\pi n}{3} = 2\pi n + 0 = 0^\circ; \)

Если \( k = 6n \pm 1 \), тогда:

\( a = \frac{6\pi n}{3} \pm \frac{\pi}{3} = 2\pi n \pm \frac{\pi}{3} = \pm 60^\circ; \)

Если \( k = 6n \pm 2 \), тогда:

\( a = \frac{6\pi n}{3} \pm 2\pi = 2\pi n \pm 2\pi = \pm 120^\circ; \)

Если \( k = 6n — 3 \), тогда:

\( a = \frac{6\pi n}{3} — 3\pi = 2\pi n — \pi = -180^\circ; \)

\( \angle P_0P_2 = 60^\circ, \, \angle P_0O P_3 = 120^\circ, \, O P_2 = O P_3 = 1; \)

\( \angle A O P_3 = 180^\circ — \angle P_0O P_3 = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ; \)

\( \angle P_0P_2 = \angle O P_3A = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ; \)

\( O A = O B = \frac{1}{2}; \)

\( A P_3 = S P_3 = \sqrt{12^2 — \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{3^2 = \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)

Ответ: \( (1; 0); (-1; 0); \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right); \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right); \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right); \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right). \)

Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на углы:

1) \( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}; \)

\( a = \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{6} = 30^\circ; \)

Повернем точку \( P_0(1; 0) \) на 30° против часовой стрелки.

\( \angle P_0 P_3 = 30^\circ, \, OP_3 = 1; \)

\( AP_3 = \frac{1}{2} OP_3 = \frac{1}{2}; \)

\( OA = \sqrt{(OP_3)^2 — (AP_3)^2} = \sqrt{1^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)

Ответ: \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right). \)

2) \( \frac{\pi}{2} + 4\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

\( a = -\frac{\pi}{2} + 4\pi k = -\frac{\pi}{2} = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = -90^\circ; \)

Ответ: \( (0; -1). \)

3) \( \frac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Если \( k = 2n \), тогда:

\( a = \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = 90^\circ; \)

Если \( k = 2n — 1 \), тогда:

\( a = \frac{\pi}{2} + 2\pi n — \pi = -\frac{\pi}{2} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = -90^\circ; \)

Ответ: \( (0; -1); (0; 1). \)

4) \( \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Если \( k = 2n \), тогда:

\( a = 2\pi n + 0^\circ = 0^\circ; \)

Если \( k = 2n + 1 \), тогда:

\( a = 2\pi n + \pi = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \pi \right) = 180^\circ; \)

Ответ: \( (-1; 0); (1; 0). \)

5) \( 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

\( a = 2\pi k = 0^\circ; \)

Ответ: \( (1; 0). \)

6) \( \frac{\pi k}{3}, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Если \( k = 6n \), тогда:

\( a = \frac{6\pi n}{3} = 2\pi n + 0 = 0^\circ; \)

Если \( k = 6n \pm 1 \), тогда:

\( a = \frac{6\pi n}{3} \pm \frac{\pi}{3} = 2\pi n \pm \frac{\pi}{3} = \pm 60^\circ; \)

Если \( k = 6n \pm 2 \), тогда:

\( a = \frac{6\pi n}{3} \pm 2\pi = 2\pi n \pm 2\pi = \pm 120^\circ; \)

Если \( k = 6n — 3 \), тогда:

\( a = \frac{6\pi n}{3} — 3\pi = 2\pi n — \pi = -180^\circ; \)

\( \angle P_0P_2 = 60^\circ, \, \angle P_0O P_3 = 120^\circ, \, O P_2 = O P_3 = 1; \)

\( \angle A O P_3 = 180^\circ — \angle P_0O P_3 = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ; \)

\( \angle P_0P_2 = \angle O P_3A = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ; \)

\( O A = O B = \frac{1}{2}; \)

\( A P_3 = S P_3 = \sqrt{12^2 — \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{3^2 = \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)

Ответ: \( (1; 0); (-1; 0); \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right); \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right); \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right); \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right). \)