Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на углы:
1) \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z};\)
2) \( -\frac{\pi}{4} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\)
3) \( \frac{k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}. \)
Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на углы:
1) \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)
Известно, что:
\( a = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{4} \right) = 135^\circ; \)
Повернем точку \( P_0(1; 0) \) на 135° против часовой стрелки.
\( \angle P_0P_3 = 135^\circ, \, OP_3 = 1; \)
\( \angle AOP_3 = 180^\circ — \angle P_0P_3 = 180^\circ — 135^\circ = 45^\circ; \)
\( OA = OP_3 = \sqrt{(OP_3)^2 — (AP_3)^2} = \sqrt{1^2 — \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \)
Ответ: \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right).\)
2) \( \frac{\pi}{4} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)
Если \( k = 2n \), тогда:
\( a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \right) = -45^\circ; \)
Если \( k = 2n + 1 \), тогда:
\( a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \pi = \frac{3\pi}{4} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{4} \right) = 135^\circ; \)
Повернем точку \( P_0(1; 0) \) на \( 45^\circ \) и \( 135^\circ \) против часовой стрелки.
\( \angle P_0P_2 = 45^\circ, \, \angle P_0P_3 = 135^\circ, \, OP_2 = OP_3 = 1; \)
\( \angle AOP_3 = 180^\circ — \angle P_0P_3 = 180^\circ — 135^\circ = 45^\circ; \)
\( AP_3 = OA = OP_2 = OB = \sqrt{\frac{12}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \)
Ответ: \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right); \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right). \)
3) \( \frac{\pi k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}; \)
Если \( k = 4n \), тогда:
\( a = \frac{4\pi n}{2} = 2\pi n + 0^\circ; \)
Если \( k = 4n \pm 1 \), тогда:
\( a = \frac{4\pi n \pm \pi}{2} = 2\pi n \pm \frac{\pi}{2} = \pm 90^\circ; \)
Если \( k = 4n + 2 \), тогда:
\( a = \frac{4\pi n}{2} = 2\pi n — \frac{\pi}{2} = -180^\circ; \)
Ответ: \( (1; 0); (0; 1); (-1; 0); (0; -1); \)
Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на углы:
1) \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)
Известно, что:
\( a = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{4} \right) = 135^\circ; \)
Повернем точку \( P_0(1; 0) \) на 135° против часовой стрелки.
\( \angle P_0P_3 = 135^\circ, \, OP_3 = 1; \)
\( \angle AOP_3 = 180^\circ — \angle P_0P_3 = 180^\circ — 135^\circ = 45^\circ; \)
\( OA = OP_3 = \sqrt{(OP_3)^2 — (AP_3)^2} = \sqrt{1^2 — \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \)
Ответ: \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right).\)
2) \( \frac{\pi}{4} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)
Если \( k = 2n \), тогда:
\( a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \right) = -45^\circ; \)
Если \( k = 2n + 1 \), тогда:
\( a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \pi = \frac{3\pi}{4} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{4} \right) = 135^\circ; \)
Повернем точку \( P_0(1; 0) \) на \( 45^\circ \) и \( 135^\circ \) против часовой стрелки.
\( \angle P_0P_2 = 45^\circ, \, \angle P_0P_3 = 135^\circ, \, OP_2 = OP_3 = 1; \)
\( \angle AOP_3 = 180^\circ — \angle P_0P_3 = 180^\circ — 135^\circ = 45^\circ; \)
\( AP_3 = OA = OP_2 = OB = \sqrt{\frac{12}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \)
Ответ: \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right); \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right). \)
3) \( \frac{\pi k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}; \)
Если \( k = 4n \), тогда:
\( a = \frac{4\pi n}{2} = 2\pi n + 0^\circ; \)
Если \( k = 4n \pm 1 \), тогда:
\( a = \frac{4\pi n \pm \pi}{2} = 2\pi n \pm \frac{\pi}{2} = \pm 90^\circ; \)
Если \( k = 4n + 2 \), тогда:
\( a = \frac{4\pi n}{2} = 2\pi n — \frac{\pi}{2} = -180^\circ; \)
Ответ: \( (1; 0); (0; 1); (-1; 0); (0; -1); \)
