ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на углы:

1) \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z};\)

2) \( -\frac{\pi}{4} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\)

3) \( \frac{k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}. \)

Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на углы:

1) \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Известно, что:

\( a = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{4} \right) = 135^\circ; \)

Повернем точку \( P_0(1; 0) \) на 135° против часовой стрелки.

\( \angle P_0P_3 = 135^\circ, \, OP_3 = 1; \)

\( \angle AOP_3 = 180^\circ — \angle P_0P_3 = 180^\circ — 135^\circ = 45^\circ; \)

\( OA = OP_3 = \sqrt{(OP_3)^2 — (AP_3)^2} = \sqrt{1^2 — \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \)

Ответ: \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right).\)

2) \( \frac{\pi}{4} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Если \( k = 2n \), тогда:

\( a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \right) = -45^\circ; \)

Если \( k = 2n + 1 \), тогда:

\( a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \pi = \frac{3\pi}{4} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{4} \right) = 135^\circ; \)

Повернем точку \( P_0(1; 0) \) на \( 45^\circ \) и \( 135^\circ \) против часовой стрелки.

\( \angle P_0P_2 = 45^\circ, \, \angle P_0P_3 = 135^\circ, \, OP_2 = OP_3 = 1; \)

\( \angle AOP_3 = 180^\circ — \angle P_0P_3 = 180^\circ — 135^\circ = 45^\circ; \)

\( AP_3 = OA = OP_2 = OB = \sqrt{\frac{12}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \)

Ответ: \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right); \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right). \)

3) \( \frac{\pi k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Если \( k = 4n \), тогда:

\( a = \frac{4\pi n}{2} = 2\pi n + 0^\circ; \)

Если \( k = 4n \pm 1 \), тогда:

\( a = \frac{4\pi n \pm \pi}{2} = 2\pi n \pm \frac{\pi}{2} = \pm 90^\circ; \)

Если \( k = 4n + 2 \), тогда:

\( a = \frac{4\pi n}{2} = 2\pi n — \frac{\pi}{2} = -180^\circ; \)

Ответ: \( (1; 0); (0; 1); (-1; 0); (0; -1); \)

Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \( P_0(1; 0) \) на углы:

1) \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Известно, что:

\( a = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{4} \right) = 135^\circ; \)

Повернем точку \( P_0(1; 0) \) на 135° против часовой стрелки.

\( \angle P_0P_3 = 135^\circ, \, OP_3 = 1; \)

\( \angle AOP_3 = 180^\circ — \angle P_0P_3 = 180^\circ — 135^\circ = 45^\circ; \)

\( OA = OP_3 = \sqrt{(OP_3)^2 — (AP_3)^2} = \sqrt{1^2 — \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \)

Ответ: \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right).\)

2) \( \frac{\pi}{4} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Если \( k = 2n \), тогда:

\( a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \right) = -45^\circ; \)

Если \( k = 2n + 1 \), тогда:

\( a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \pi = \frac{3\pi}{4} = \left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{4} \right) = 135^\circ; \)

Повернем точку \( P_0(1; 0) \) на \( 45^\circ \) и \( 135^\circ \) против часовой стрелки.

\( \angle P_0P_2 = 45^\circ, \, \angle P_0P_3 = 135^\circ, \, OP_2 = OP_3 = 1; \)

\( \angle AOP_3 = 180^\circ — \angle P_0P_3 = 180^\circ — 135^\circ = 45^\circ; \)

\( AP_3 = OA = OP_2 = OB = \sqrt{\frac{12}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \)

Ответ: \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right); \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right). \)

3) \( \frac{\pi k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}; \)

Если \( k = 4n \), тогда:

\( a = \frac{4\pi n}{2} = 2\pi n + 0^\circ; \)

Если \( k = 4n \pm 1 \), тогда:

\( a = \frac{4\pi n \pm \pi}{2} = 2\pi n \pm \frac{\pi}{2} = \pm 90^\circ; \)

Если \( k = 4n + 2 \), тогда:

\( a = \frac{4\pi n}{2} = 2\pi n — \frac{\pi}{2} = -180^\circ; \)

Ответ: \( (1; 0); (0; 1); (-1; 0); (0; -1); \)