ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Доказать, что площадь сектора, содержащего дугу в \( \alpha \) радиан, можно вычислить по формуле: \( S = \frac{\alpha R^2}{2} \), где \( R \) — радиус окружности.

Доказать, что площадь сектора, содержащего дугу в \( a \) радиан, можно вычислить по формуле: \( S = \frac{aR^2}{2} \), где \( R \) — радиус окружности;

1) Площадь круга вычисляется по формуле:

\( S = \pi R^2; \)

2) Вся окружность является дугой в \( 2\pi \) радиан;

3) Пусть \( S_0 \) — площадь сектора в \( a \) радиан, тогда:

\( \frac{S_0}{a} = \frac{S}{2\pi}; \)

\( S_0 = \frac{aS}{2\pi} = \frac{a \cdot \pi R^2}{2\pi} = \frac{aR^2}{2}; \)

Что и требовалось доказать.

Доказать, что площадь сектора, содержащего дугу в \( a \) радиан, можно вычислить по формуле: \( S = \frac{aR^2}{2} \), где \( R \) — радиус окружности;

1) Площадь круга вычисляется по формуле:

\( S = \pi R^2; \)

Это стандартная формула для площади круга, где \( R \) — радиус окружности. Она основана на том, что круг можно представить как бесконечно маленькие сектора, сумма которых даёт всю площадь.

2) Вся окружность является дугой в \( 2\pi \) радиан;

Окружность полностью охватывает угол в \( 360^\circ \), что соответствует \( 2\pi \) радиан. Таким образом, полный круг имеет угол \( 2\pi \) радиан.

3) Пусть \( S_0 \) — площадь сектора в \( a \) радиан, тогда:

Площадь сектора пропорциональна углу, который он охватывает. Если весь круг соответствует \( 2\pi \) радиан, то сектор, охватывающий угол \( a \), будет занимать долю площади всего круга, пропорциональную \( \frac{a}{2\pi} \).

\( \frac{S_0}{a} = \frac{S}{2\pi}; \)

Теперь, выразив площадь сектора через площадь всего круга, получаем формулу для площади сектора:

\( S_0 = \frac{aS}{2\pi} = \frac{a \cdot \pi R^2}{2\pi} = \frac{aR^2}{2}; \)

Таким образом, площадь сектора пропорциональна углу \( a \) и радиусу \( R \) окружности. Это и есть искомая формула для площади сектора.

Что и требовалось доказать.