Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \frac{x^2 — 6}{x — 3} = \frac{x}{x — 3}; \)
2) \( \frac{3x — 1}{x} — \frac{4}{x — 2} = \frac{10 — 9x}{x^2 — 2x}. \)
Решите уравнение:
1) \( \frac{x^2 — 6}{x — 3} = \frac{x}{x — 3} \)
\( x^2 — 6 = x; \)
\( x^2 — x — 6 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 3; \)
Выражение имеет смысл при: \( x — 3 \neq 0; \) \( x \neq 3; \)
Ответ: \( -2. \)
2) \( \frac{3x — 1}{x} — \frac{4}{x — 2} = \frac{10 — 9x}{x^2 — 2x} \)
\( (3x — 1)(x — 2) — 4x = 10 — 9x; \)
\( 3x^2 — 6x — x + 2 — 4x — 10 + 9x = 0; \)
\( 3x^2 — 2x — 8 = 0; \)
\( D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100, \) тогда:
\( x_1 = \frac{2 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}; \)
\( x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2; \)
Выражение имеет смысл при: \( x^2 — 2x \neq 0; \) \( x(x — 2) \neq 0; \)
\( x_1 \neq 0 \) и \( x_2 \neq 2; \)
Ответ: \( -1\frac{1}{3}. \)
Решите уравнение:
1) \( \frac{x^2 — 6}{x — 3} = \frac{x}{x — 3} \)
Начнём с того, что обе части уравнения содержат дроби с одинаковыми знаменателями. Если \( x \neq 3 \), можно умножить обе части уравнения на \( (x — 3) \), чтобы избавиться от знаменателей:
\( x^2 — 6 = x; \)
Приводим выражение к стандартному виду:
\( x^2 — x — 6 = 0; \)
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\( D = b^2 — 4ac; \)
В нашем случае \( a = 1, b = -1, c = -6 \). Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \)
Так как \( D = 25 \), у нас два действительных корня. Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\( x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2; \)
\( x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3; \)
Так как выражение в исходном уравнении имеет смысл только при \( x \neq 3 \), то корень \( x_2 = 3 \) не подходит.
Ответ: \( x = -2 \).
2) \( \frac{3x — 1}{x} — \frac{4}{x — 2} = \frac{10 — 9x}{x^2 — 2x} \)
Начнём с того, что обе части уравнения содержат дроби, и для упрощения лучше привести их к общему знаменателю. Для этого умножим обе части уравнения на выражение, которое будет общим знаменателем для всех дробей:
\( (x(x — 2)) \).
Умножаем обе части уравнения на \( x(x — 2) \):
\( (3x — 1)(x — 2) — 4x = 10 — 9x; \)
Раскроем скобки и упростим:
\( 3x^2 — 6x — x + 2 — 4x — 10 + 9x = 0; \)
Приводим подобные члены:
\( 3x^2 — 2x — 8 = 0; \)
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения \( 3x^2 — 2x — 8 = 0 \) у нас:
\( a = 3, b = -2, c = -8 \), подставляем в формулу для дискриминанта:
\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100; \)
Так как \( D = 100 \), у нас два действительных корня. Теперь найдём их с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\( x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 10}{6} = -1\frac{1}{3}; \)
\( x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = 2; \)
Однако, выражение имеет смысл только при \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \). Следовательно, корень \( x_2 = 2 \) исключается.
Ответ: \( x = -1\frac{1}{3} \).
