ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( \frac{x^2 — 6}{x — 3} = \frac{x}{x — 3}; \)

2) \( \frac{3x — 1}{x} — \frac{4}{x — 2} = \frac{10 — 9x}{x^2 — 2x}. \)

Решите уравнение:

1) \( \frac{x^2 — 6}{x — 3} = \frac{x}{x — 3} \)

\( x^2 — 6 = x; \)

\( x^2 — x — 6 = 0; \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \) тогда:

\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 3; \)

Выражение имеет смысл при: \( x — 3 \neq 0; \) \( x \neq 3; \)

Ответ: \( -2. \)

2) \( \frac{3x — 1}{x} — \frac{4}{x — 2} = \frac{10 — 9x}{x^2 — 2x} \)

\( (3x — 1)(x — 2) — 4x = 10 — 9x; \)

\( 3x^2 — 6x — x + 2 — 4x — 10 + 9x = 0; \)

\( 3x^2 — 2x — 8 = 0; \)

\( D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100, \) тогда:

\( x_1 = \frac{2 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}; \)

\( x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2; \)

Выражение имеет смысл при: \( x^2 — 2x \neq 0; \) \( x(x — 2) \neq 0; \)

\( x_1 \neq 0 \) и \( x_2 \neq 2; \)

Ответ: \( -1\frac{1}{3}. \)

Решите уравнение:

1) \( \frac{x^2 — 6}{x — 3} = \frac{x}{x — 3} \)

Начнём с того, что обе части уравнения содержат дроби с одинаковыми знаменателями. Если \( x \neq 3 \), можно умножить обе части уравнения на \( (x — 3) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( x^2 — 6 = x; \)

Приводим выражение к стандартному виду:

\( x^2 — x — 6 = 0; \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\( D = b^2 — 4ac; \)

В нашем случае \( a = 1, b = -1, c = -6 \). Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \)

Так как \( D = 25 \), у нас два действительных корня. Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2; \)

\( x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3; \)

Так как выражение в исходном уравнении имеет смысл только при \( x \neq 3 \), то корень \( x_2 = 3 \) не подходит.

Ответ: \( x = -2 \).

2) \( \frac{3x — 1}{x} — \frac{4}{x — 2} = \frac{10 — 9x}{x^2 — 2x} \)

Начнём с того, что обе части уравнения содержат дроби, и для упрощения лучше привести их к общему знаменателю. Для этого умножим обе части уравнения на выражение, которое будет общим знаменателем для всех дробей:

\( (x(x — 2)) \).

Умножаем обе части уравнения на \( x(x — 2) \):

\( (3x — 1)(x — 2) — 4x = 10 — 9x; \)

Раскроем скобки и упростим:

\( 3x^2 — 6x — x + 2 — 4x — 10 + 9x = 0; \)

Приводим подобные члены:

\( 3x^2 — 2x — 8 = 0; \)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения \( 3x^2 — 2x — 8 = 0 \) у нас:

\( a = 3, b = -2, c = -8 \), подставляем в формулу для дискриминанта:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100; \)

Так как \( D = 100 \), у нас два действительных корня. Теперь найдём их с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 10}{6} = -1\frac{1}{3}; \)

\( x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = 2; \)

Однако, выражение имеет смысл только при \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \). Следовательно, корень \( x_2 = 2 \) исключается.

Ответ: \( x = -1\frac{1}{3} \).